Algèbre Exemples

$\cos (x) \tan (x) - \cos (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Étape 1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Séparez les fractions.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 7

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Étape 8

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Étape 9

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 1$

Étape 10

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 12

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 13

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 13.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 13.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 14

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 15

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$