Algèbre Exemples

$\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$m, n, m n, 1$

Étape 1.2

Comme $m, n, m n, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ .

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.6

Le facteur pour $m^{1}$ est $m$ lui-même.

$m^{1} = m$

$m$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $n^{1}$ est $n$ lui-même.

$n^{1} = n$

$n$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le facteur pour $m^{1}$ est $m$ lui-même.

$m^{1} = m$

$m$ se produit $1$ fois.

Étape 1.9

Le facteur pour $n^{1}$ est $n$ lui-même.

$n^{1} = n$

$n$ se produit $1$ fois.

Étape 1.10

Le plus petit multiple commun de $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$m \cdot n$

Étape 1.11

Multipliez $m$ par $n$ .

$m n$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ par $m n$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ par $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $m$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $m$ à partir de $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m (n)) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$(x + m) n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x n + m n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x + n}{n}$ dans le numérateur.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.3.2

Factorisez $n$ à partir de $m n$ .

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$x n + m n - (x + n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x n + m n + (- x - n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x n + m n - x m - n m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $x n + m n - x m - n m$ .

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Étape 2.2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $m n$ et $- n m$ .

$x n + m n - x m - m n = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $m n$ de $m n$ .

$x n - x m + 0 = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $x n - x m$ et $0$ .

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $m n$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 (m n)$

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x n - x m$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x n$ .

$x (n) - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x m$ .

$x (n) + x (- 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (n) + x (- 1 m)$ .

$x (n - 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1 m$ comme $- m$ .

$x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ par $n - m$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ par $n - m$ .

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $n - m$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Associez en une fraction.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Étape 3.3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{m^{2} + n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Étape 3.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{m^{2} + n^{2} - 2 m n}{n - m}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.3.2.1

Réorganisez les termes.

$x = \frac{m^{2} - 2 m n + n^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 m n = 2 \cdot m \cdot n$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x = \frac{m^{2} - 2 \cdot m \cdot n + n^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = m$ et $b = n$ .

$x = \frac{{(m - n)}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3

Annulez le facteur commun à ${(m - n)}^{2}$ et $n - m$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $m$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m) - n)}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- n$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m) - (n))}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- m) - (n)$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m + n))}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- m + n)$ .

$x = \frac{{(- 1)}^{2} {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3.6

Multipliez ${(- m + n)}^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Étape 3.3.3.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{- m + n}$

Étape 3.3.3.3.8

Factorisez $- m + n$ à partir de ${(- m + n)}^{2}$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{- m + n}$

Étape 3.3.3.3.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.3.9.1

Multipliez par $1$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Étape 3.3.3.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Étape 3.3.3.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- m + n}{1}$

Étape 3.3.3.3.9.4

Divisez $- m + n$ par $1$ .

$x = - m + n$