Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1

Factorisez $2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4$ .

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{3} + x^{2}) - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x^{2} - 4)}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(2 x + 1) ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x - 1)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x - 1)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x - 1}$

Étape 4

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x - 2$

Étape 5

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x - 1}$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.3

Remplacez $x$ par $2$ dans $\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x - 1}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Remplacez $x$ par $2$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{(2 \cdot 2 + 1) (2 + 2)}{2 - 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(4 + 1) (2 + 2)}{2 - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{5 (2 + 2)}{2 - 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{5 \cdot 4}{2 - 1}$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{5 \cdot 4}{1}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{1}$

Étape 5.3.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$20$

Étape 5.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(2, 20)$

Étape 6