Algèbre Exemples

$\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 1) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 1) - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - (x + 1) + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x - x - 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x - 1 + 2 x$ .

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Étape 5.4.2.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1$