Algèbre Exemples

$16 x \leq x^{3}$

Étape 1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 x - x^{3} \leq 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$16 x - x^{3} = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x - x^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x$ .

$x \cdot 16 - x^{3} = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$x \cdot 16 + x (- x^{2}) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 16 + x (- x^{2})$ .

$x (16 - x^{2}) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x (4^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

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Étape 3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$x ((4 + x) (4 - x)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (4 + x) (4 - x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 7

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 7.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 + x) (4 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$16 (- 6) \leq {(- 6)}^{3}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 96$ est supérieur au côté droit $- 216$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$16 (- 2) \leq {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 32$ est inférieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$16 (2) \leq {(2)}^{3}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $32$ est supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$16 (6) \leq {(6)}^{3}$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $96$ est inférieur au côté droit $216$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq 0$ ou $x \geq 4$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 \leq x \leq 0 or x \geq 4$

Notation d’intervalle :

$[- 4, 0] \cup [4, \infty)$

Étape 13