Algèbre Exemples

$8^{x^{2} - \frac{14}{3} x} = 32$

Étape 1

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{3 (x^{2} - \frac{14}{3} x)} = 2^{5}$

Étape 2

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 (x^{2} - \frac{14}{3} x) = 5$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $3 (x^{2} - \frac{14}{3} x)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Associez $x$ et $\frac{14}{3}$ .

$3 (x^{2} - \frac{x \cdot 14}{3}) = 5$

Étape 3.1.1.2

Déplacez $14$ à gauche de $x$ .

$3 (x^{2} - \frac{14 x}{3}) = 5$

Étape 3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (- \frac{14 x}{3}) = 5$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{14 x}{3}$ dans le numérateur.

$3 x^{2} + 3 \frac{- 14 x}{3} = 5$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + 3 \frac{- 14 x}{3} = 5$

Étape 3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} - 14 x = 5$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $1$ plus $- 15$

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 3.5

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 3.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Forme décimale :

$x = - 0.\overline{3}, 5$