Algèbre Exemples

$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \sqrt[4]{y^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $20$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{4}}$ comme $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\sqrt{\frac{x^{\frac{4}{5}} \sqrt[4]{y^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{\frac{4}{5}}$ comme $x^{\frac{16}{20}}$ .

$\sqrt{\frac{x^{\frac{16}{20}} \sqrt[4]{y^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1.1.3

Réécrivez $x^{\frac{16}{20}}$ comme $\sqrt[20]{x^{16}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16}} \sqrt[4]{y^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{y^{3}}$ comme $y^{\frac{3}{4}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16}} y^{\frac{3}{4}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1.1.5

Réécrivez $y^{\frac{3}{4}}$ comme $y^{\frac{15}{20}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16}} y^{\frac{15}{20}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1.1.6

Réécrivez $y^{\frac{15}{20}}$ comme $\sqrt[20]{y^{15}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16}} \sqrt[20]{y^{15}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt[3]{x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}}$

Étape 3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}}$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}}$

Étape 3.5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 3.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}}$

Étape 3.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}}$

Étape 3.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}}$

Étape 3.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}}$

Étape 3.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}}$

Étape 4.3

Factorisez $x^{3}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}}$

Étape 4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{\frac{\sqrt[20]{x^{16} y^{15}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}}$

Étape 4.5

Associez les exposants.

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $60$ .

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Étape 4.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[20]{x^{16} y^{15}}$ comme ${(x^{16} y^{15})}^{\frac{1}{20}}$ .

$\sqrt{\frac{x ({(x^{16} y^{15})}^{\frac{1}{20}} \sqrt[3]{x})}{x^{2}}}$

Étape 4.5.1.2

Réécrivez ${(x^{16} y^{15})}^{\frac{1}{20}}$ comme ${(x^{16} y^{15})}^{\frac{3}{60}}$ .

$\sqrt{\frac{x ({(x^{16} y^{15})}^{\frac{3}{60}} \sqrt[3]{x})}{x^{2}}}$

Étape 4.5.1.3

Réécrivez ${(x^{16} y^{15})}^{\frac{3}{60}}$ comme $\sqrt[60]{{(x^{16} y^{15})}^{3}}$ .

$\sqrt{\frac{x (\sqrt[60]{{(x^{16} y^{15})}^{3}} \sqrt[3]{x})}{x^{2}}}$

Étape 4.5.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt{\frac{x (\sqrt[60]{{(x^{16} y^{15})}^{3}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $x^{\frac{20}{60}}$ .

$\sqrt{\frac{x (\sqrt[60]{{(x^{16} y^{15})}^{3}} x^{\frac{20}{60}})}{x^{2}}}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $x^{\frac{20}{60}}$ comme $\sqrt[60]{x^{20}}$ .

$\sqrt{\frac{x (\sqrt[60]{{(x^{16} y^{15})}^{3}} \sqrt[60]{x^{20}})}{x^{2}}}$

Étape 4.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{{(x^{16} y^{15})}^{3} x^{20}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.3

Appliquez la règle de produit à $x^{16} y^{15}$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{{(x^{16})}^{3} {(y^{15})}^{3} x^{20}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{16})}^{3}$ .

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Étape 4.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{16 \cdot 3} {(y^{15})}^{3} x^{20}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.4.2

Multipliez $16$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{48} {(y^{15})}^{3} x^{20}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{15})}^{3}$ .

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Étape 4.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{48} y^{15 \cdot 3} x^{20}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.5.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{48} y^{45} x^{20}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.6

Multipliez $x^{48}$ par $x^{20}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.6.1

Déplacez $x^{20}$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{20} x^{48} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{20 + 48} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.6.3

Additionnez $20$ et $48$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{68} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 4.6

Réécrivez $x^{68} y^{45}$ comme $x^{60} (x^{8} y^{45})$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $x^{60}$ .

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{60} x^{8} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 4.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{\frac{x \sqrt[60]{x^{60} (x^{8} y^{45})}}{x^{2}}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{\frac{x (x \sqrt[60]{x^{8} y^{45}})}{x^{2}}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{1} x \sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{1} x^{1} \sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{x^{1 + 1} \sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} \sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{x^{2} \sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}{x^{2}}}$

Étape 6.2

Divisez $\sqrt[60]{x^{8} y^{45}}$ par $1$ .

$\sqrt{\sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}$

Étape 7

Réécrivez $\sqrt{\sqrt[60]{x^{8} y^{45}}}$ comme $\sqrt[120]{x^{8} y^{45}}$ .

$\sqrt[120]{x^{8} y^{45}}$