Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{2} - x - 2} < \sqrt{x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2} - x - 2}}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ comme ${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - x - 2)}^{1} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ comme ${((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x - 2 < {({((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{1}$

Étape 2.3.1.2.5

Simplifiez

$x^{2} - x - 2 < (x + 1) (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Développez $(x + 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x - 2 < x (x + 2) + 1 (x + 2)$

Étape 2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)$

Étape 2.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 2$

Étape 2.3.1.4.2

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 3 x + 2$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} < 3 x + 2$

Étape 3.1.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x < 2$

Étape 3.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x$ .

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Étape 3.1.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x - 2 + 0 - 3 x < 2$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $- x - 2$ et $0$ .

$- x - 2 - 3 x < 2$

Étape 3.1.4

Soustrayez $3 x$ de $- x$ .

$- 4 x - 2 < 2$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 4 x < 2 + 2$

Étape 3.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 4 x < 4$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 4 x < 4$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x < 4$ par $- 4$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{4}{- 4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $4$ par $- 4$ .

$x > - 1$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{(x - 2) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x - 2) (x + 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x - 2) (x + 1) \geq 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 1) \geq 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 4.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 4.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) - 2) ((- 4) + 1) \geq 0$

Étape 4.2.6.1.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) - 2) ((0) + 1) \geq 0$

Étape 4.2.6.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$((4) - 2) ((4) + 1) \geq 0$

Étape 4.2.6.3.3

Le côté gauche $10$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 4.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 2$

Étape 4.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 1) (x + 2) \geq 0$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.4.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.4.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 2) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, - 2$

Étape 4.4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 4.4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Étape 4.4.6.1.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Étape 4.4.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 1.5) + 1) ((- 1.5) + 2) \geq 0$

Étape 4.4.6.2.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.4.6.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Étape 4.4.6.3.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.4.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

Étape 4.4.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 2$ ou $x \geq - 1$

Étape 4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2] \cup [- 1, - 1] \cup [2, \infty)$

Étape 5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 2$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x > 2$

Notation d’intervalle :

$(2, \infty)$

Étape 7