Algèbre Exemples

$4^{3 x - 2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{3 x - 2}) = \ln (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$

Étape 2

Développez $\ln (4^{3 x - 2})$ en déplaçant $3 x - 2$ hors du logarithme.

$(3 x - 2) \ln (4) = \ln (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 4.1.2.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Étape 4.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Étape 4.1.2.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Étape 4.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 4.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 4.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

Étape 4.1.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) = \ln (\frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 x \ln (4) - 2 \ln (4) - \ln (\frac{\sqrt{2}}{4}) = 0$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $2 \ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (4) - \ln (\frac{\sqrt{2}}{4}) = 2 \ln (4)$

Étape 6.2

Ajoutez $\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (\frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (\frac{\sqrt{2}}{4})$ par $3 \ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (\frac{\sqrt{2}}{4})$ par $3 \ln (4)$ .

$\frac{3 x \ln (4)}{3 \ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (4)} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x \ln (4)}{3 \ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (4)} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (4)} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (4)} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (4)} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (4)} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{2}{3} + \frac{\ln (\frac{\sqrt{2}}{4})}{3 \ln (4)}$

Forme décimale :

$x = 0.41\overline{6}$