Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 1}{3} + \frac{3 x - 5}{4} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{2 x + 1}{3} + \frac{3 x - 5}{4}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{2 x + 1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 x + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x - 5}{4} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{3 x - 5}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x + 1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2 x + 1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{12} + \frac{3 x - 5}{4} \cdot \frac{3}{3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.3.3

Multipliez $\frac{3 x - 5}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{12} + \frac{(3 x - 5) \cdot 3}{4 \cdot 3} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4}{12} + \frac{(3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x + 1) \cdot 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x + 1 \cdot 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{8 x + 4 + (3 x - 5) \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x + 4 + 3 x \cdot 3 - 5 \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{8 x + 4 + 9 x - 5 \cdot 3}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.6

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{8 x + 4 + 9 x - 15}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.7

Additionnez $8 x$ et $9 x$ .

$\frac{17 x + 4 - 15}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.5.8

Soustrayez $15$ de $4$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4 x - 3}{5} + \frac{x + 1}{2}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{4 x - 3}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x - 3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x + 1}{2}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x + 1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x - 3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{4 x - 3}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{10} + \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{x + 1}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{10} + \frac{(x + 1) \cdot 5}{2 \cdot 5}$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2}{10} + \frac{(x + 1) \cdot 5}{10}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{(4 x - 3) \cdot 2 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{4 x \cdot 2 - 3 \cdot 2 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 3 \cdot 2 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + (x + 1) \cdot 5}{10}$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + x \cdot 5 + 1 \cdot 5}{10}$

Étape 2.5.5

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + 5 \cdot x + 1 \cdot 5}{10}$

Étape 2.5.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{8 x - 6 + 5 \cdot x + 5}{10}$

Étape 2.5.7

Additionnez $8 x$ et $5 x$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{13 x - 6 + 5}{10}$

Étape 2.5.8

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$\frac{17 x - 11}{12} < \frac{13 x - 1}{10}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{13 x - 1}{10}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{17 x - 11}{12} - \frac{13 x - 1}{10} < 0$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{17 x - 11}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{13 x - 1}{10} < 0$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{13 x - 1}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{17 x - 11}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{13 x - 1}{10} \cdot \frac{6}{6} < 0$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{17 x - 11}{12}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{13 x - 1}{10} \cdot \frac{6}{6} < 0$

Étape 3.4.2

Multipliez $12$ par $5$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{60} - \frac{13 x - 1}{10} \cdot \frac{6}{6} < 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{13 x - 1}{10}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{60} - \frac{(13 x - 1) \cdot 6}{10 \cdot 6} < 0$

Étape 3.4.4

Multipliez $10$ par $6$ .

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5}{60} - \frac{(13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(17 x - 11) \cdot 5 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{17 x \cdot 5 - 11 \cdot 5 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.2

Multipliez $5$ par $17$ .

$\frac{85 x - 11 \cdot 5 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.3

Multipliez $- 11$ par $5$ .

$\frac{85 x - 55 - (13 x - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{85 x - 55 + (- (13 x) - - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.5

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$\frac{85 x - 55 + (- 13 x - - 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{85 x - 55 + (- 13 x + 1) \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{85 x - 55 - 13 x \cdot 6 + 1 \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.8

Multipliez $6$ par $- 13$ .

$\frac{85 x - 55 - 78 x + 1 \cdot 6}{60} < 0$

Étape 3.6.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{85 x - 55 - 78 x + 6}{60} < 0$

Étape 3.6.10

Soustrayez $78 x$ de $85 x$ .

$\frac{7 x - 55 + 6}{60} < 0$

Étape 3.6.11

Additionnez $- 55$ et $6$ .

$\frac{7 x - 49}{60} < 0$

Étape 3.6.12

Factorisez $7$ à partir de $7 x - 49$ .

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Étape 3.6.12.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{7 (x) - 49}{60} < 0$

Étape 3.6.12.2

Factorisez $7$ à partir de $- 49$ .

$\frac{7 x + 7 \cdot - 7}{60} < 0$

Étape 3.6.12.3

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 \cdot - 7$ .

$\frac{7 (x - 7)}{60} < 0$

Étape 4

Multipliez les deux côtés par $60$ .

$\frac{7 (x - 7)}{60} \cdot 60 < 0 \cdot 60$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\frac{7 (x - 7)}{60} \cdot 60$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $60$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (x - 7)}{60} \cdot 60 < 0 \cdot 60$

Étape 5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$7 (x - 7) < 0 \cdot 60$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x + 7 \cdot - 7 < 0 \cdot 60$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$7 x - 49 < 0 \cdot 60$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Multipliez $0$ par $60$ .

$7 x - 49 < 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Ajoutez $49$ aux deux côtés de l’inégalité.

$7 x < 49$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $7 x < 49$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x < 49$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} < \frac{49}{7}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} < \frac{49}{7}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{49}{7}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $49$ par $7$ .

$x < 7$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 7$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 7)$