Algèbre Exemples

$6 > z (10 - z)$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $z$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$z (10 - z) < 6$

Étape 2

Simplifiez $z (10 - z)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z \cdot 10 + z (- z) < 6$

Étape 2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $10$ à gauche de $z$ .

$10 \cdot z + z (- z) < 6$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 \cdot z - z \cdot z < 6$

Étape 2.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $z$ .

$10 z - (z \cdot z) < 6$

Étape 2.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$10 z - z^{2} < 6$

Étape 3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$10 z - z^{2} - 6 < 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$10 z - z^{2} - 6 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 10$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 6)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 6}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 6$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 6}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $24$ de $100$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 2}$ .

$z = 5 \pm \sqrt{19}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$z = 5 + \sqrt{19}, 5 - \sqrt{19}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$z < 5 - \sqrt{19}$

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$

$z > 5 + \sqrt{19}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $z < 5 - \sqrt{19}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $z < 5 - \sqrt{19}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $z$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 > (0) (10 - (0))$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = 5$

Étape 10.2.2

Remplacez $z$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$6 > (5) (10 - (5))$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $6$ n’est pas supérieur au côté droit $25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $z > 5 + \sqrt{19}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $z > 5 + \sqrt{19}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = 12$

Étape 10.3.2

Remplacez $z$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$6 > (12) (10 - (12))$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $- 24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$z < 5 - \sqrt{19}$ Vrai

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ Faux

$z > 5 + \sqrt{19}$ Vrai

$z < 5 - \sqrt{19}$ Vrai

$5 - \sqrt{19} < z < 5 + \sqrt{19}$ Faux

$z > 5 + \sqrt{19}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$z < 5 - \sqrt{19}$ ou $z > 5 + \sqrt{19}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$z < 5 - \sqrt{19} or z > 5 + \sqrt{19}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 5 - \sqrt{19}) \cup (5 + \sqrt{19}, \infty)$

Étape 13