Algèbre Exemples

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \div \frac{20 y^{2}}{y^{2} - 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{20 y^{2}}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $5 y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $5 y$ à partir de $20 y^{2}$ .

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{5 y (4 y)}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{5 y (4 y)}$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 4 y + 4} \cdot \frac{y^{2} - 4}{4 y}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{y^{2} + 4 y + 4}$ par $\frac{y^{2} - 4}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - 4}{(y^{2} + 4 y + 4) (4 y)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2^{2}}{(y^{2} + 4 y + 4) \cdot 4 y}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y^{2} + 4 y + 4) \cdot 4 y}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y^{2} + 4 y + 2^{2}) \cdot 4 y}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 4 y}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{{(y + 2)}^{2} \cdot 4 y}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $y + 2$ à partir de ${(y + 2)}^{2} \cdot 4 y$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y + 2) ((y + 2) \cdot 4 y)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y + 2) ((y + 2) \cdot 4 y)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 2}{(y + 2) \cdot 4 y}$

Étape 7

Déplacez $4$ à gauche de $y + 2$ .

$\frac{y - 2}{4 \cdot (y + 2) y}$

Étape 8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y - 2}{4 (y + 2) y}$ .

$\frac{y - 2}{4 y (y + 2)}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{y - 2}{4 y (y + 2)}$ en deux fractions.

$\frac{y}{4 y (y + 2)} + \frac{- 2}{4 y (y + 2)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{4 y (y + 2)} + \frac{- 2}{4 y (y + 2)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{- 2}{4 y (y + 2)}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{2 (- 1)}{4 y (y + 2)}$

Étape 11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y (y + 2)$ .

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y (y + 2))}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y (y + 2))}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 (y + 2)} + \frac{- 1}{2 y (y + 2)}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4 (y + 2)} - \frac{1}{2 y (y + 2)}$