Algèbre Exemples

$- x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x$

Étape 1

Écrivez $- x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x$ comme une équation.

$y = - x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x = 0$ .

$- x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$x (- x^{3}) - 4 x^{3} + 16 x^{2} + 64 x = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x (- x^{3}) + x (- 4 x^{2}) + 16 x^{2} + 64 x = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{2}$ .

$x (- x^{3}) + x (- 4 x^{2}) + x (16 x) + 64 x = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $64 x$ .

$x (- x^{3}) + x (- 4 x^{2}) + x (16 x) + x \cdot 64 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{3}) + x (- 4 x^{2})$ .

$x (- x^{3} - 4 x^{2}) + x (16 x) + x \cdot 64 = 0$

Étape 2.2.2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{3} - 4 x^{2}) + x (16 x)$ .

$x (- x^{3} - 4 x^{2} + 16 x) + x \cdot 64 = 0$

Étape 2.2.2.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{3} - 4 x^{2} + 16 x) + x \cdot 64$ .

$x (- x^{3} - 4 x^{2} + 16 x + 64) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((- x^{3} - 4 x^{2}) + 16 x + 64) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x^{2} (- x - 4) - 16 (- x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 4$ .

$x ((- x - 4) (x^{2} - 16)) = 0$

Étape 2.2.2.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x ((- x - 4) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Étape 2.2.2.5

Factorisez.

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Étape 2.2.2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$x ((- x - 4) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Étape 2.2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((- x - 4) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6

Factorisez.

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Étape 2.2.2.6.1

Associez les exposants.

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Étape 2.2.2.6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x ((- (x) - 4) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x ((- (x) - 1 \cdot 4) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$x (- (x + 4) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.4

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$x (- 1 (x + 4) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.5

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$x (- 1 ((x + 4) (x + 4)) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.6

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$x (- 1 ((x + 4) (x + 4)) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (- 1 {(x + 4)}^{1 + 1} (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x (- 1 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x \cdot (- 1 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.7

Factorisez le signe négatif.

$- (x {(x + 4)}^{2} (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x {(x + 4)}^{2} (x - 4) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez ${(x + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.2.5.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x {(x + 4)}^{2} (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 4, 0), (4, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{4} - 4 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + 16 \cdot 0^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.5

Simplifiez $- {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$ .

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 0 - 4 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 - 4 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 {(0)}^{2} + 64 (0)$

Étape 3.2.5.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 \cdot 0 + 64 (0)$

Étape 3.2.5.1.6

Multipliez $16$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 64 (0)$

Étape 3.2.5.1.7

Multipliez $64$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 3.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 4, 0), (4, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 5