Algèbre Exemples

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Étape 2

Développez $\ln (4^{3 x + 2})$ en déplaçant $3 x + 2$ hors du logarithme.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ comme $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ .

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

Étape 4

Développez $\ln (8^{2 x})$ en déplaçant $2 x$ hors du logarithme.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $(3 x + 2) \ln (4)$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez $3 \ln (4)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Étape 5.1.1.3

Simplifiez $2 \ln (4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.4.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Étape 5.1.1.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 \ln (8)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

Étape 5.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

Étape 5.4

Associez les termes opposés dans $x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ .

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Étape 5.4.1

Soustrayez $x \ln (64)$ de $x \ln (64)$ .

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Étape 5.4.2

Additionnez $0$ et $\ln (16)$ .

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Étape 5.5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

Étape 5.6

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

Étape 5.8

Résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ .

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

Étape 5.8.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{16}{x - 5} = 1$

Étape 5.8.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.8.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 5, 1$

Étape 5.8.3.2

Supprimez les parenthèses.

$x - 5, 1$

Étape 5.8.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 5$

Étape 5.8.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{16}{x - 5} = 1$ par $x - 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.8.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{16}{x - 5} = 1$ par $x - 5$ .

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Étape 5.8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Étape 5.8.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$16 = 1 (x - 5)$

Étape 5.8.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.4.3.1

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$16 = x - 5$

Étape 5.8.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.8.5.1

Réécrivez l’équation comme $x - 5 = 16$ .

$x - 5 = 16$

Étape 5.8.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.8.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 16 + 5$

Étape 5.8.5.2.2

Additionnez $16$ et $5$ .

$x = 21$