Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Étape 1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1} - (x + 1)$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1^{2}} - (x + 1)$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - (x + 1)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - (x + 1)$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} - (x + 1)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} - x - 1 \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} - x - 1$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Écrivez $- x$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x}{1} - 1$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{- x}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - 1$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{- x}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} - 1$

Étape 2.4

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} + \frac{- 1}{1}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} + \frac{- x (x + 1)}{x + 1} + \frac{- (x + 1)}{x + 1}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + x + 1 - x (x + 1) - (x + 1)}{x + 1}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - (x + 1)}{x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - (x + 1)}{x + 1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot 1 - (x + 1)}{x + 1}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - (x + 1)}{x + 1}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1}{x + 1}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - x - 1}{x + 1}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x + 1 - x^{2} - x - x - 1$ .

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Étape 5.1.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + 1 + 0 - x - x - 1}{x + 1}$

Étape 5.1.2

Additionnez $x + 1$ et $0$ .

$\frac{x + 1 - x - x - 1}{x + 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1 - x - 1}{x + 1}$

Étape 5.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - x - 1}{x + 1}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- x + 0}{x + 1}$

Étape 5.1.6

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{- x}{x + 1}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{x + 1}$