Algèbre Exemples

$x^{2} + 3 > y$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} > y - 3$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{y - 3}$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{y - 3}$

Étape 4

Écrivez $| x | > \sqrt{y - 3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > \sqrt{y - 3}$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $x > \sqrt{y - 3}$ et déterminez l’intersection avec $x \geq 0$ .

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Étape 4.3.1

Déterminez le domaine de $x > \sqrt{y - 3}$ .

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Étape 4.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{y - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$y - 3 \geq 0$

Étape 4.3.1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$y \geq 3$

Étape 4.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 4.3.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $[3, \infty)$ .

$x \geq 3$

Étape 4.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.5

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > \sqrt{y - 3}$

Étape 4.6

Déterminez le domaine de $- x > \sqrt{y - 3}$ et déterminez l’intersection avec $x < 0$ .

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Étape 4.6.1

Déterminez le domaine de $- x > \sqrt{y - 3}$ .

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Étape 4.6.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{y - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$y - 3 \geq 0$

Étape 4.6.1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$y \geq 3$

Étape 4.6.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 4.6.2

Déterminez l’intersection de $x < 0$ et $[3, \infty)$ .

$Aucune solution$

Étape 4.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > \sqrt{y - 3} & x \geq 3 \end{cases}$

Étape 5

Résolvez $x > \sqrt{y - 3}$ quand $x \geq 3$ .

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Étape 5.1

Résolvez $x > \sqrt{y - 3}$ pour $y$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$\sqrt{y - 3} < x$

Étape 5.1.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{y - 3}}^{2} < x^{2}$

Étape 5.1.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 5.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 3}$ comme ${(y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < x^{2}$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.3.2.1

Simplifiez ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Étape 5.1.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Étape 5.1.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 3)}^{1} < x^{2}$

Étape 5.1.3.2.1.2

Simplifiez

$y - 3 < x^{2}$

Étape 5.1.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$y < x^{2} + 3$

Étape 5.2

Déterminez l’intersection de $y < x^{2} + 3$ et $x \geq 3$ .

$3 \leq x < x^{2} + 3$

Étape 6

Déterminez l’union des solutions.

$3 \leq x < x^{2} + 3$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$3 \leq x < x^{2} + 3$

Notation d’intervalle :

$[3, x^{2} + 3)$

Étape 8