Algèbre Exemples

$f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ comme une équation.

$y = 500 (0.04 - x^{2})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 500 (0.04 - y^{2})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $500 (0.04 - y^{2}) = x$ .

$500 (0.04 - y^{2}) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $500 (0.04 - y^{2}) = x$ par $500$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $500 (0.04 - y^{2}) = x$ par $500$ .

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $500$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $0.04 - y^{2}$ par $1$ .

$0.04 - y^{2} = \frac{x}{500}$

Étape 3.3

Soustrayez $0.04$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{x}{500}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Étape 3.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{x}{500}$ comme $- \frac{x}{500}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Étape 3.4.3.1.3

Divisez $- 0.04$ par $- 1$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + 0.04$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$ .

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Étape 3.6.1

Pour écrire $0.04$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04 \cdot \frac{500}{500}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.6.2.1

Associez $0.04$ et $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + \frac{0.04 \cdot 500}{500}}$

Étape 3.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.3.1

Factorisez $0.04$ à partir de $- x + 0.04 \cdot 500$ .

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Étape 3.6.3.1.1

Factorisez $0.04$ à partir de $- x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Étape 3.6.3.1.2

Factorisez $0.04$ à partir de $0.04 \cdot 500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)}{500}}$

Étape 3.6.3.1.3

Factorisez $0.04$ à partir de $0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x + 500)}{500}}$

Étape 3.6.3.2

Factorisez $25$ à partir de $- 25 x + 500$ .

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Étape 3.6.3.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 25 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 500)}{500}}$

Étape 3.6.3.2.2

Factorisez $25$ à partir de $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 25 (20))}{500}}$

Étape 3.6.3.2.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (- x) + 25 (20)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x + 20))}{500}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 \cdot 25 (- x + 20)}{500}}$

Étape 3.6.3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.6.3.3.1

Multipliez $0.04$ par $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1 (- x + 20)}{500}}$

Étape 3.6.3.3.2

Multipliez $- x + 20$ par $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 20}{500}}$

Étape 3.6.4

Réécrivez $\frac{- x + 20}{500}$ comme ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}$ .

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Étape 3.6.4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- x + 20$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{500}}$

Étape 3.6.4.2

Factorisez la puissance parfaite $10^{2}$ dans $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}}$

Étape 3.6.4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}}$

Étape 3.6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$

Étape 3.6.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.7

Multipliez $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 3.6.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.6.8.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 3.6.8.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 3.6.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.6.8.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.6.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 3.6.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5}$

Étape 3.6.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$

Étape 3.6.10

Multipliez $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

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Étape 3.6.10.1

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Étape 3.6.10.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$

Étape 3.6.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ est l’inverse de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 20]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 (- x + 20)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 (- x + 20) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 (- x + 20) \geq 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (- x + 20) \geq 0$ par $5$ .

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $- x + 20$ par $1$ .

$- x + 20 \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$- x + 20 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 20$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 20$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 20$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

Divisez $- 20$ par $- 1$ .

$x \leq 20$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 20]$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ n’est pas un inverse de $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6