Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 1}{3 x - 1} > \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x + 1}{3 x - 1} - \frac{2 x + 5}{3 x + 2} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x + 1}{3 x - 1} - \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{2 x + 1}{3 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x + 1}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 2}{3 x + 2} - \frac{2 x + 5}{3 x + 2} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 2}{3 x + 2} - \frac{2 x + 5}{3 x + 2} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x - 1) (3 x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2 x + 1}{3 x - 1}$ par $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)} - \frac{2 x + 5}{3 x + 2} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)} - \frac{(2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 1) (3 x + 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x + 2)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} - \frac{(2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x + 1) (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(2 x + 1) (3 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (3 x + 2) + 1 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (3 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (3 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 4 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.1.5

Multipliez $3 x$ par $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 4 x + 3 x + 1 \cdot 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 4 x + 3 x + 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $4 x$ et $3 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - (2 x + 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 + (- 2 x - 1 \cdot 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 + (- 2 x - 5) (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.6

Développez $(- 2 x - 5) (3 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 2 x (3 x - 1) - 5 (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 2 x (3 x) - 2 x \cdot - 1 - 5 (3 x - 1)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 2 x (3 x) - 2 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 2 \cdot 3 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 2 \cdot 3 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 2 \cdot 3 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 6 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 6 x^{2} + 2 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.1.5

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 6 x^{2} + 2 x - 15 x - 5 \cdot - 1}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 6 x^{2} + 2 x - 15 x + 5}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.7.2

Soustrayez $15 x$ de $2 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 7 x + 2 - 6 x^{2} - 13 x + 5}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.8

Soustrayez $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x + 2 + 0 - 13 x + 5}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.9

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$\frac{7 x + 2 - 13 x + 5}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.10

Soustrayez $13 x$ de $7 x$ .

$\frac{- 6 x + 2 + 5}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.5.11

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{- 6 x + 7}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{- (6 x) + 7}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.7

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (6 x) - 1 (- 7)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (6 x - 7)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (6 x - 7)$ comme $- 1 (6 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (6 x - 7)}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 x - 7}{(3 x + 2) (3 x - 1)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$6 x - 7 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 7$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $6 x = 7$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 7$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{6}$

Étape 6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{7}{6}$

$x = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7}{6}, - \frac{2}{3}, \frac{1}{3}$

Étape 12

Déterminez le domaine de $- \frac{6 x - 7}{(3 x + 2) (3 x - 1)}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 x - 7}{(3 x + 2) (3 x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(3 x + 2) (3 x - 1) = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Étape 12.2.2

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 12.2.2.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 12.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 12.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 12.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 12.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 12.2.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 12.2.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 12.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 12.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 12.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 12.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 12.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{1}{3}$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$

$x > \frac{7}{6}$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 3) + 1}{3 (- 3) - 1} > \frac{2 (- 3) + 5}{3 (- 3) + 2}$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0.\overline{142857}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) + 1}{3 (0) - 1} > \frac{2 (0) + 5}{3 (0) + 2}$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $2.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (1) + 1}{3 (1) - 1} > \frac{2 (1) + 5}{3 (1) + 2}$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $1.5$ est supérieur au côté droit $1.4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (4) + 1}{3 (4) - 1} > \frac{2 (4) + 5}{3 (4) + 2}$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $0.\overline{81}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.9\overline{285714}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{2}{3}$ Vrai

$- \frac{2}{3} < x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$ Vrai

$x > \frac{7}{6}$ Faux

$x < - \frac{2}{3}$ Vrai

$- \frac{2}{3} < x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$ Vrai

$x > \frac{7}{6}$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{2}{3}$ ou $\frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{2}{3} or \frac{1}{3} < x < \frac{7}{6}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \frac{7}{6})$

Étape 17