Algèbre Exemples

$f (x) = 4 x - 8 x^{3} - x^{2}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x - 8 x^{3} - x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x - 8 x^{3} - x^{2} = 0$ .

$4 x - 8 x^{3} - x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $4 x - 8 x^{3} - x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Déplacez $4 x$ .

$- 8 x^{3} - x^{2} + 4 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- x (8 x^{2}) - x^{2} + 4 x = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x (8 x^{2}) - x \cdot x + 4 x = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $- x$ à partir de $4 x$ .

$- x (8 x^{2}) - x \cdot x - x \cdot - 4 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x (8 x^{2}) - x (x)$ .

$- x (8 x^{2} + x) - x \cdot - 4 = 0$

Étape 1.2.2.6

Factorisez $- x$ à partir de $- x (8 x^{2} + x) - x (- 4)$ .

$- x (8 x^{2} + x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$8 x^{2} + x - 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $8 x^{2} + x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $8 x^{2} + x - 4$ égal à $0$ .

$8 x^{2} + x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $8 x^{2} + x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = 1$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 4)}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 4$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32 \cdot - 4}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 128}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $128$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 4$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32 \cdot - 4}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 128}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $128$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{129}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{129})}{16}$

Étape 1.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{129})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{129})}{16}$

Étape 1.2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 4$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32 \cdot - 4}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 128}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $1$ et $128$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{129}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{129})}{16}$

Étape 1.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{129})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{129})}{16}$

Étape 1.2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{129}}{16}, - \frac{1 + \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (8 x^{2} + x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{1 - \sqrt{129}}{16}, - \frac{1 + \sqrt{129}}{16}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- \frac{1 - \sqrt{129}}{16}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{129}}{16}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 (0) - 8 {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 (0) - 8 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 (0) - 8 \cdot 0^{3} - 0^{2}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 (0) - 8 {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $4 (0) - 8 {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - {(0)}^{2}$

Étape 2.2.4.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 0$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- \frac{1 - \sqrt{129}}{16}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{129}}{16}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4