Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x^{2}}{9} - 1}{\frac{x - 6}{9} + \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $9 x$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{x^{2}}{9} - 1}{\frac{x - 6}{9} + \frac{1}{x}}$ par $\frac{9 x}{9 x}$ .

$\frac{9 x}{9 x} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{9} - 1}{\frac{x - 6}{9} + \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{9 x (\frac{x^{2}}{9} - 1)}{9 x (\frac{x - 6}{9} + \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x \frac{x^{2}}{9} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$\frac{9 (x) \frac{x^{2}}{9} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x \frac{x^{2}}{9} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot x^{2} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{9 (x) \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{9 x \frac{x - 6}{9} + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{x (x - 6) + 9 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{x (x - 6) + x \cdot 9 \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{x (x - 6) + x \cdot 9 \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} + 9 x \cdot - 1}{x (x - 6) + 9}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 9 x \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 9 x \cdot - 1}{x (x - 6) + 9}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $9 x \cdot - 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (9 \cdot - 1)}{x (x - 6) + 9}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (9 \cdot - 1)$ .

$\frac{x (x^{2} + 9 \cdot - 1)}{x (x - 6) + 9}$

Étape 4.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 9)}{x (x - 6) + 9}$

Étape 4.3

Réécrivez $x^{2} - 9$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 3^{2})}{x (x - 6) + 9}$

Étape 4.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x ((x + 3) (x - 3))}{x (x - 6) + 9}$

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x (x - 6) + 9}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 6 + 9}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + x \cdot - 6 + 9}$

Étape 5.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 6 \cdot x + 9}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Étape 5.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 5.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Étape 5.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et ${(x - 3)}^{2}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{(x - 3) (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x (x + 3))}{(x - 3) (x - 3)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 3)}{x - 3}$