Algèbre Exemples

$2 - | \frac{2}{5} x + 3 | > \frac{3}{5}$

Étape 1

Écrivez $2 - | \frac{2}{5} x + 3 | > \frac{3}{5}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{2}{5} x + 3 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{5} + 3 \geq 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{5} \geq - 3$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 \geq - 3 \cdot 5$

Étape 1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 \geq - 3 \cdot 5$

Étape 1.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x \geq - 3 \cdot 5$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$2 x \geq - 15$

Étape 1.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x \geq - 15$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq - 15$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 15}{2}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 15}{2}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 15}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{15}{2}$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{2}{5} x + 3$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$2 - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{2}{5} x + 3 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{5} + 3 < 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{5} < - 3$

Étape 1.5.3

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 < - 3 \cdot 5$

Étape 1.5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 < - 3 \cdot 5$

Étape 1.5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x < - 3 \cdot 5$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$2 x < - 15$

Étape 1.5.5

Divisez chaque terme dans $2 x < - 15$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x < - 15$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 15}{2}$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 15}{2}$

Étape 1.5.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 15}{2}$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x < - \frac{15}{2}$

Étape 1.6

Dans la partie où $\frac{2}{5} x + 3$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 2 - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $2 - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

${\begin{cases} 2 - (\frac{2 x}{5} + 3) > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 - \frac{2 x}{5} - 1 \cdot 3 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${\begin{cases} 2 - \frac{2 x}{5} - 3 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2 x}{5} + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - (- \frac{2 x}{5} - 1 \cdot 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - (- \frac{2 x}{5} - 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - \frac{2 x}{5} - - 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.1.5

Multipliez $- - \frac{2 x}{5}$ .

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Étape 1.9.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 + 1 \frac{2 x}{5} - - 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.1.5.2

Multipliez $\frac{2 x}{5}$ par $1$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 + \frac{2 x}{5} - - 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 + \frac{2 x}{5} + 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 1.9.2

Additionnez $2$ et $3$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ \frac{2 x}{5} + 5 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $- \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5}$ quand $x \geq - \frac{15}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $- \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} + 1$

Étape 2.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} + \frac{5}{5}$

Étape 2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 x}{5} > \frac{3 + 5}{5}$

Étape 2.1.1.4

Additionnez $3$ et $5$ .

$- \frac{2 x}{5} > \frac{8}{5}$

Étape 2.1.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- 2 x > 8$

Étape 2.1.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x > 8$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x > 8$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{8}{- 2}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{8}{- 2}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{8}{- 2}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.3.1

Divisez $8$ par $- 2$ .

$x < - 4$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < - 4$ et $x \geq - \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} \leq x < - 4$

Étape 3

Résolvez $\frac{2 x}{5} + 5 > \frac{3}{5}$ quand $x < - \frac{15}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $\frac{2 x}{5} + 5 > \frac{3}{5}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} - 5$

Étape 3.1.1.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.1.1.3

Associez $- 5$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

Étape 3.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x}{5} > \frac{3 - 5 \cdot 5}{5}$

Étape 3.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.5.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{3 - 25}{5}$

Étape 3.1.1.5.2

Soustrayez $25$ de $3$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{- 22}{5}$

Étape 3.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x}{5} > - \frac{22}{5}$

Étape 3.1.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$2 x > - 22$

Étape 3.1.3

Divisez chaque terme dans $2 x > - 22$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x > - 22$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 22}{2}$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 22}{2}$

Étape 3.1.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 22}{2}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.3.1

Divisez $- 22$ par $2$ .

$x > - 11$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x > - 11$ et $x < - \frac{15}{2}$ .

$- 11 < x < - \frac{15}{2}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$- 11 < x < - 4$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 11 < x < - 4$

Notation d’intervalle :

$(- 11, - 4)$

Étape 6