Algèbre Exemples

$f (x) = 1 - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 - \frac{2}{x^{3}}$ comme une équation.

$y = 1 - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 - \frac{2}{y^{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 - \frac{2}{y^{3}} = x$ .

$1 - \frac{2}{y^{3}} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2}{y^{3}} = x - 1$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{3}, 1, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{3}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2}{y^{3}} = x - 1$ par $y^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2}{y^{3}} = x - 1$ par $y^{3}$ .

$- \frac{2}{y^{3}} y^{3} = x y^{3} - y^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{y^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{y^{3}} y^{3} = x y^{3} - y^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{y^{3}} y^{3} = x y^{3} - y^{3}$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 = x y^{3} - y^{3}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{3} - y^{3} = - 2$ .

$x y^{3} - y^{3} = - 2$

Étape 3.5.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x y^{3} - y^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x y^{3}$ .

$y^{3} x - y^{3} = - 2$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- y^{3}$ .

$y^{3} x + y^{3} \cdot - 1 = - 2$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} x + y^{3} \cdot - 1$ .

$y^{3} (x - 1) = - 2$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y^{3} (x - 1) = - 2$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y^{3} (x - 1) = - 2$ par $x - 1$ .

$\frac{y^{3} (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2}{x - 1}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 2}{x - 1}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{- 2}{x - 1}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{2}{x - 1}$

Étape 3.5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{2}{x - 1}}$

Étape 3.5.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{2}{x - 1}}$ .

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez $- \frac{2}{x - 1}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{x - 1}$ .

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Étape 3.5.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{2}{x - 1}}$

Étape 3.5.5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{x - 1}}$

Étape 3.5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{x - 1}}$

Étape 3.5.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{2}{x - 1}}$

Étape 3.5.5.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{2}{x - 1}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{x - 1}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Étape 3.5.5.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{x - 1}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{x - 1}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2}})$

Étape 3.5.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.5.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{x - 1}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{\sqrt[3]{x - 1} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}$

Étape 3.5.5.6.2

Élevez $\sqrt[3]{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{1} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}$

Étape 3.5.5.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.5.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{3}}$

Étape 3.5.5.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 1}}^{3}$ comme $x - 1$ .

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Étape 3.5.5.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.5.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.5.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.5.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.5.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.5.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{{(x - 1)}^{1}}$

Étape 3.5.5.6.5.5

Simplifiez

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}}{x - 1}$

Étape 3.5.5.7

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 1}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$

Étape 3.5.5.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = - \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - \frac{2}{x^{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {((1 - \frac{2}{x^{3}}) - 1)}^{2}}}{(1 - \frac{2}{x^{3}}) - 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} - 1)}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{x^{3} - 2}{x^{3}} - 1)}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{x^{3} - 2}{x^{3}} - 1 \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}})}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{x^{3} - 2}{x^{3}} + \frac{- x^{3}}{x^{3}})}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{x^{3} - 2 - x^{3}}{x^{3}})}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{x^{3} - x^{3} - 2}{x^{3}})}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez $\frac{x^{3} - x^{3} - 2}{x^{3}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.7.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{0 - 2}{x^{3}})}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.7.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(\frac{- 2}{x^{3}})}^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{- 2}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{{(- 2)}^{2}}{{(x^{3})}^{2}})}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.9

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{4}{{(x^{3})}^{2}})}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{4}{x^{3 \cdot 2}})}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{2 (\frac{4}{x^{6}})}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.11

Associez $2$ et $\frac{4}{x^{6}}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 4}{x^{6}}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.12

Multipliez $2$ par $4$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{\frac{8}{x^{6}}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.13

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{\frac{2^{3}}{x^{6}}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.14

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{\frac{2^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.15

Réécrivez $\frac{2^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$ comme ${(\frac{2}{x^{2}})}^{3}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{{(\frac{2}{x^{2}})}^{3}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x^{3}} - 1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\frac{2}{x^{2}}}{- \frac{2}{x^{3}} + 0}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $- \frac{2}{x^{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - \frac{\frac{2}{x^{2}}}{- \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{2}{x^{2}} \cdot (- \frac{x^{3}}{2}))$

Étape 5.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{2})$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{- 2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{2})$

Étape 5.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{2 (- 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{2})$

Étape 5.2.7.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{2 \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{2})$

Étape 5.2.7.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot x^{3})$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Étape 5.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 - \frac{2}{x^{3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{{(- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1})}^{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1})}^{3}}$

Étape 5.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- {(\frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1})}^{3}}$

Étape 5.3.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}^{3}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}^{3}$ comme $2 {(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}$ comme ${(2 {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{({(2 {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{(2 {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{(2 {(x - 1)}^{2})}^{\frac{3}{3}}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{(2 {(x - 1)}^{2})}^{\frac{3}{3}}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.1.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.3.1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.3.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.6

Simplifiez

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Étape 5.3.3.1.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

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Étape 5.3.3.1.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2}) - 4 x + 2}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.1.4.8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.3.3.1.4.8.3

Réécrivez le polynôme.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.4.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et ${(x - 1)}^{3}$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 2}{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.5.2.1

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} (x - 1)}}$

Étape 5.3.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} (x - 1)}}$

Étape 5.3.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - \frac{2}{- \frac{2}{x - 1}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - (2 (- \frac{x - 1}{2}))$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 1}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - (2 (\frac{- (x - 1)}{2}))$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - (2 (\frac{- (x - 1)}{2}))$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - (- x + 1)$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 - (- x + 1)$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - \frac{2}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{2 {(x - 1)}^{2}}}{x - 1}$