Algèbre Exemples

$\frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{25} + \frac{x}{5}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $25 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{25} + \frac{x}{5}}$ par $\frac{25 x^{2}}{25 x^{2}}$ .

$\frac{25 x^{2}}{25 x^{2}} \cdot \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{25} + \frac{x}{5}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{25 x^{2} (1 - \frac{25}{x^{2}})}{25 x^{2} (\frac{x^{2}}{25} + \frac{x}{5})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 + 25 x^{2} (- \frac{25}{x^{2}})}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{25}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 + 25 x^{2} \frac{- 25}{x^{2}}}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 + x^{2} \cdot 25 \frac{- 25}{x^{2}}}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 + x^{2} \cdot 25 \frac{- 25}{x^{2}}}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 + 25 \cdot - 25}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.2

Multipliez $25$ par $- 25$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{25 (x^{2}) \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{25 x^{2} \frac{x^{2}}{25} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{2} x^{2} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{2 + 2} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 25 x^{2} \frac{x}{5}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 5 (5 x^{2}) \frac{x}{5}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 5 (5 x^{2}) \frac{x}{5}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 5 x^{2} x}$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 5 (x^{1} x^{2})}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 5 x^{1 + 2}}$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{25 x^{2} \cdot 1 - 625}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2} \cdot 1 - 625$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{25 (x^{2} \cdot 1) - 625}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $25$ à partir de $- 625$ .

$\frac{25 (x^{2} \cdot 1) + 25 \cdot - 25}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (x^{2} \cdot 1) + 25 \cdot - 25$ .

$\frac{25 (x^{2} \cdot 1 - 25)}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez $x^{2} \cdot 1$ comme ${(x \cdot 1)}^{2}$ .

$\frac{25 ({(x \cdot 1)}^{2} - 25)}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{25 ({(x \cdot 1)}^{2} - 5^{2})}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x \cdot 1$ et $b = 5$ .

$\frac{25 ((x \cdot 1 + 5) (x \cdot 1 - 5))}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{25 ((x + 5) (x \cdot 1 - 5))}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{25 ((x + 5) (x - 5))}{x^{4} + 5 x^{3}}$

$\frac{25 (x + 5) (x - 5)}{x^{4} + 5 x^{3}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} + 5 x^{3}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{25 (x + 5) (x - 5)}{x^{3} x + 5 x^{3}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5 x^{3}$ .

$\frac{25 (x + 5) (x - 5)}{x^{3} x + x^{3} \cdot 5}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot 5$ .

$\frac{25 (x + 5) (x - 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (x + 5) (x - 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 (x - 5)}{x^{3}}$