Algèbre Exemples

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’inégalité.

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Étape 2

Développez $\ln (12^{3 x + 4})$ en déplaçant $3 x + 4$ hors du logarithme.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ comme $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ .

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

Étape 4

Développez $\ln (2^{5 x + 3})$ en déplaçant $5 x + 3$ hors du logarithme.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

Étape 5

Développez $\ln (3^{2 x - 1})$ en déplaçant $2 x - 1$ hors du logarithme.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6

Résolvez l’inégalité pour $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Simplifiez $(3 x + 4) \ln (12)$ .

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez $3 \ln (12)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez $4 \ln (12)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.4.1

Élevez $12$ à la puissance $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.1.1.4.2

Élevez $12$ à la puissance $4$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ .

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez $5 \ln (2)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.3

Simplifiez $3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.4.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.4.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.6

Simplifiez $2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.7

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

Étape 6.2.1.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

Étape 6.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

Étape 6.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $8$ à partir de $20736$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

Étape 6.5.3

Multipliez $2592$ par $3$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

Étape 6.6

Soustrayez $\ln (7776)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Étape 6.7

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1728)$ .

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Étape 6.7.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (32)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Étape 6.7.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (9)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Étape 6.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Étape 6.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Étape 6.8

Réécrivez $- 1 \ln (32)$ comme $- \ln (32)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Étape 6.9

Réécrivez $- 1 \ln (9)$ comme $- \ln (9)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

Étape 6.10

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ par $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ et simplifiez.

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Étape 6.10.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ par $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Étape 6.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.10.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

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Étape 6.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Étape 6.10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Étape 6.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

Étape 9