Algèbre Exemples

$30000 = 640 {(1.085)}^{x + 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$ .

$640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$ par $640$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $640 \cdot {1.085}^{x + 1} = 30000$ par $640$ .

$\frac{640 \cdot {1.085}^{x + 1}}{640} = \frac{30000}{640}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $640$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{640 \cdot {1.085}^{x + 1}}{640} = \frac{30000}{640}$

Étape 2.2.1.2

Divisez ${1.085}^{x + 1}$ par $1$ .

${1.085}^{x + 1} = \frac{30000}{640}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $30000$ et $640$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $80$ à partir de $30000$ .

${1.085}^{x + 1} = \frac{80 (375)}{640}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $80$ à partir de $640$ .

${1.085}^{x + 1} = \frac{80 \cdot 375}{80 \cdot 8}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${1.085}^{x + 1} = \frac{80 \cdot 375}{80 \cdot 8}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${1.085}^{x + 1} = \frac{375}{8}$

Étape 3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.085}^{x + 1}) = \ln (\frac{375}{8})$

Étape 4

Développez $\ln ({1.085}^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (1.085) = \ln (\frac{375}{8})$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $(x + 1) \ln (1.085)$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (1.085) + 1 \ln (1.085) = \ln (\frac{375}{8})$

Étape 5.1.2

Multipliez $\ln (1.085)$ par $1$ .

$x \ln (1.085) + \ln (1.085) = \ln (\frac{375}{8})$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1.085) + \ln (1.085) - \ln (\frac{375}{8}) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.085) + \ln (\frac{1.085}{\frac{375}{8}}) = 0$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (1.085) + \ln (1.085 (\frac{8}{375})) = 0$

Étape 8.2

Multipliez $1.085 (\frac{8}{375})$ .

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Étape 8.2.1

Associez $1.085$ et $\frac{8}{375}$ .

$x \ln (1.085) + \ln (\frac{1.085 \cdot 8}{375}) = 0$

Étape 8.2.2

Multipliez $1.085$ par $8$ .

$x \ln (1.085) + \ln (\frac{8.68}{375}) = 0$

Étape 8.3

Divisez $8.68$ par $375$ .

$x \ln (1.085) + \ln (0.02314\overline{6}) = 0$

Étape 9

Soustrayez $\ln (0.02314\overline{6})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1.085) = - \ln (0.02314\overline{6})$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $x \ln (1.085) = - \ln (0.02314\overline{6})$ par $\ln (1.085)$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (1.085) = - \ln (0.02314\overline{6})$ par $\ln (1.085)$ .

$\frac{x \ln (1.085)}{\ln (1.085)} = \frac{- \ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.085)$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (1.085)}{\ln (1.085)} = \frac{- \ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (0.02314\overline{6})}{\ln (1.085)}$

Forme décimale :

$x = 46.16211200 \dots$