Algèbre Exemples

${(r^{2} + 2)}^{2} + (r^{2} + 2) - 6 = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez ${(r^{2} + 2)}^{2} + r^{2} + 2 - 6$ .

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Étape 1.1.1

Supprimez les parenthèses.

${(r^{2} + 2)}^{2} + r^{2} + 2 - 6 = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

${(r^{2} + 2)}^{2} + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(r^{2} + 2)}^{2}$ comme $(r^{2} + 2) (r^{2} + 2)$ .

$(r^{2} + 2) (r^{2} + 2) + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2

Développez $(r^{2} + 2) (r^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} (r^{2} + 2) + 2 (r^{2} + 2) + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 2 + 2 (r^{2} + 2) + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 2 + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $r^{2}$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r^{2 + 2} + r^{2} \cdot 2 + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$r^{4} + r^{2} \cdot 2 + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $r^{2}$ .

$r^{4} + 2 r^{2} + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$r^{4} + 2 r^{2} + 2 r^{2} + 4 + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 r^{2}$ et $2 r^{2}$ .

$r^{4} + 4 r^{2} + 4 + r^{2} - 4 = 0$

Étape 2.4

Additionnez $4 r^{2}$ et $r^{2}$ .

$r^{4} + 5 r^{2} + 4 - 4 = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$r^{4} + 5 r^{2} + 0 = 0$

Étape 2.6

Additionnez $r^{4} + 5 r^{2}$ et $0$ .

$r^{4} + 5 r^{2} = 0$

Étape 2.7

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{4} + 5 r^{2}$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{4}$ .

$r^{2} r^{2} + 5 r^{2} = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez $r^{2}$ à partir de $5 r^{2}$ .

$r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 5 = 0$

Étape 2.7.3

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 5$ .

$r^{2} (r^{2} + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r^{2} = 0$

$r^{2} + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $r^{2}$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 4.1

Définissez $r^{2}$ égal à $0$ .

$r^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $r^{2} = 0$ pour $r$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$r = 0$

Étape 5

Définissez $r^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 5.1

Définissez $r^{2} + 5$ égal à $0$ .

$r^{2} + 5 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $r^{2} + 5 = 0$ pour $r$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} = - 5$

Étape 5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$r = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$r = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \pm i \sqrt{5}$

Étape 5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = i \sqrt{5}$

Étape 5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - i \sqrt{5}$

Étape 5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $r^{2} (r^{2} + 5) = 0$ vraie.

$r = 0, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$