Algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 21}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 (x) - 21}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 7$ plus $9$

$\frac{3 x^{2} + (- 7 + 9) x - 21}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 7 x + 9 x - 21}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x^{2} - 7 x) + 9 x - 21}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (3 x - 7) + 3 (3 x - 7)}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{- 2 x^{2} - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} - 2 x + 12$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2}) - 2 x + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 12} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2} - x) + 2 (6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} - x) + 2 (6)$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2} - x + 6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2} - (x) + 6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2} + (2 - 3) x + 6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x^{2} + 2 x - 3 x + 6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 ((- x^{2} + 2 x) - 3 x + 6)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (x (- x + 2) + 3 (- x + 2))} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 ((- x + 2) (x + 3))} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 63 = 126$ et dont la somme est $b = 25$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 25 (x) + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $25$ comme $7$ plus $18$

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + (7 + 18) x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x + 18 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x^{2} + 7 x) + 18 x + 63}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x (2 x + 7) + 9 (2 x + 7)}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 7$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{6 x^{2} + 7 x - 49}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 49 = - 294$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{6 x^{2} + 7 (x) - 49}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 14$ plus $21$

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{6 x^{2} + (- 14 + 21) x - 49}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{6 x^{2} - 14 x + 21 x - 49}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{(6 x^{2} - 14 x) + 21 x - 49}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{2 x (3 x - 7) + 7 (3 x - 7)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{(3 x - 7) (2 x + 7)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $3 x - 7$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - 7) (x + 3)}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{(3 x - 7) (2 x + 7)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{2 (- x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(2 x + 7) (x + 9)}{2 x + 7}$

Étape 6

Multipliez $\frac{x + 3}{2 (- x + 2) (x + 3)}$ par $\frac{(2 x + 7) (x + 9)}{2 x + 7}$ .

$\frac{(x + 3) ((2 x + 7) (x + 9))}{2 (- x + 2) (x + 3) (2 x + 7)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) ((2 x + 7) (x + 9))}{2 (- x + 2) (x + 3) (2 x + 7)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x + 7) (x + 9)}{2 (- x + 2) (2 x + 7)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2 x + 7$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 7) (x + 9)}{2 (- x + 2) (2 x + 7)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 9}{2 (- x + 2)}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x + 9}{2 (- (x) + 2)}$

Étape 10

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x + 9}{2 (- (x) - 1 (- 2))}$

Étape 11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x + 9}{2 (- (x - 2))}$

Étape 12

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 12.1

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x + 9}{2 (- 1 (x - 2))}$

Étape 12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 9}{2 (x - 2)}$