Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot - 2 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 2 y^{2} + x y}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 2 y^{2}$ et $x y$ .

$\frac{x^{2} + x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $1$ à partir de $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1 (x y) - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$\frac{x^{2} + (- 1 + 2) (x y) - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 1 (x y) + 2 (x y) - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{x^{2} - 1 x y + 2 x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x^{2} - 1 x y) + 2 x y - 2 y^{2}}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (x - 1 y) + 2 y (x - y)}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1 y$ .

$\frac{(x - 1 y) (x + 2 y)}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{3} + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + x^{2} y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} x + x^{2} y} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} x + x^{2} (y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} (y)$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 2 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y}$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y^{2}$ et $3 x y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3 (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + (1 + 2) (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1 (x y) + 2 (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 3.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + x y + 2 (x y) + 2 y^{2}}$

Étape 3.1.7

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x^{2} + x y + 2 x y + 2 y^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{(x^{2} + x y) + 2 x y + 2 y^{2}}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{x (x + y) + 2 y (x + y)}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + y$ .

$\frac{(x - y) (x + 2 y)}{x^{2} (x + y)} \cdot \frac{x}{(x + y) (x + 2 y)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{(x - y) (x + 2 y) x}{x^{2} (x + y) ((x + y) (x + 2 y))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - y) (x + 2 y) x}{x^{2} (x + y) ((x + y) (x + 2 y))}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - y) x}{x^{2} (x + y) (x + y)}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $(x - y) x$ .

$\frac{x (x - y)}{x^{2} (x + y) (x + y)}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x + y) (x + y)$ .

$\frac{x (x - y)}{x ((x (x + y)) (x + y))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - y)}{x ((x (x + y)) (x + y))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - y}{(x (x + y)) (x + y)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Élevez $x + y$ à la puissance $1$ .

$\frac{x - y}{x ({(x + y)}^{1} (x + y))}$

Étape 5.2

Élevez $x + y$ à la puissance $1$ .

$\frac{x - y}{x ({(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1})}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - y}{x {(x + y)}^{1 + 1}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x - y}{x {(x + y)}^{2}}$