Algèbre Exemples

$y = \sqrt{x} + 8$ , $y \geq 8$

Étape 1

Écrivez $y = \sqrt{x} + 8$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{x} + 8$

Étape 2

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$

Étape 2.2

Convertissez $[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Étape 3

Déterminez l’inverse.

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Étape 3.1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y} + 8$

Étape 3.2

Résolvez $y$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y} + 8 = x$ .

$\sqrt{y} + 8 = x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{y} = x - 8$

Étape 3.2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 3.2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 3.2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 8)}^{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.3.1

Simplifiez ${(x - 8)}^{2}$ .

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Étape 3.2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 8)}^{2}$ comme $(x - 8) (x - 8)$ .

$y = (x - 8) (x - 8)$

Étape 3.2.4.3.1.2

Développez $(x - 8) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Étape 3.2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Étape 3.2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 3.2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 3.2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$y = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 3.2.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$y = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Étape 3.2.4.3.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$y = x^{2} - 16 x + 64$

Étape 3.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64$

Étape 4

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64, x \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Étape 5