Algèbre Exemples

$\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} - 18) = 2$

Étape 1

Réécrivez $\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} - 18) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

${(- 2 x - 3)}^{2} = 3 x^{2} - 18$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(- 2 x - 3)}^{2} - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(- 2 x - 3)}^{2}$ comme $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ .

$(- 2 x - 3) (- 2 x - 3) - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.2

Développez $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3) - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x - 3) - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$4 x^{2} + 6 x - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$4 x^{2} + 6 x + 6 x - 3 \cdot - 3 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$4 x^{2} + 12 x + 9 - 3 x^{2} = - 18$

Étape 2.1.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$x^{2} + 12 x + 9 = - 18$

Étape 2.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 12 x + 9 + 18 = 0$

Étape 2.3

Additionnez $9$ et $18$ .

$x^{2} + 12 x + 27 = 0$

Étape 2.4

Factorisez $x^{2} + 12 x + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $12$ .

$3, 9$

Étape 2.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) (x + 9) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.7

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 3, - 9$