Algèbre Exemples

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Étape 1

Multipliez chaque terme par un facteur de $1$ qui rendra tous les dénominateurs égaux. Dans ce cas, tous les termes ont besoin d’un dénominateur de $3$ .

$\tan (θ) \cdot \frac{3}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $3$ .

$\tan (θ) \cdot 3$

Étape 3

Déplacez $3$ à gauche de $\tan (θ)$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $3$ .

$\sin (θ) \cdot 3$

Étape 5

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (θ)$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 \sin (θ)}{3}$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Simplifiez $\tan (θ) \cdot \frac{3}{3}$ .

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Étape 6.1.1

Divisez $3$ par $3$ .

$\tan (θ) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Simplifiez $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$ .

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot 1$

Étape 7.1.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ par $\tan (θ)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ par $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (θ)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Séparez les fractions.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (θ)}$

Étape 8.3.2

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 8.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 8.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 8.3.5

Simplifiez

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Étape 8.3.5.1

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 8.3.5.2

Multipliez $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ par $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.3.6

Divisez $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ par $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 8.3.7.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $2 \sqrt{3} \sin (θ)$ .

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (θ)$

Étape 8.3.8

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\cos (θ)$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$

Étape 9

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$

Étape 10

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 11.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$ .

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Étape 11.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 \sqrt{3}$ .

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Étape 11.1.1.2.1

Factorisez $2 \sqrt{3}$ à partir de $2 \sqrt{3} \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.2.1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Étape 11.2.1.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 11.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 11.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 14

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 15

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 15.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.2

Associez les fractions.

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Étape 15.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$θ = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 15.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$θ = \frac{11 π}{6}$

Étape 16

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 16.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 17

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$