Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ comme une équation.

$y = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}} = x$ .

$\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}}}^{7} = x^{7}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}}$ comme ${(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

${({(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{y^{3}}{7})}^{1} = x^{7}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$\frac{y^{3}}{7} = x^{7}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{y^{3}}{7} = 7 x^{7}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{y^{3}}{7} = 7 x^{7}$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 7 x^{7}$

Étape 3.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{7 x^{7}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{7 x^{7}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $7 x^{7}$ comme ${(x^{2})}^{3} \cdot (7 x)$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Factorisez $x^{6}$ .

$y = \sqrt[3]{7 (x^{6} x)}$

Étape 3.4.4.1.2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{7 ({(x^{2})}^{3} x)}$

Étape 3.4.4.1.3

Remettez dans l’ordre $7$ et ${(x^{2})}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} \cdot 7 x}$

Étape 3.4.4.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} \cdot (7 x)}$

Étape 3.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = {(\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}^{2} \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = {(\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}})}^{2} \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{{\sqrt[7]{x^{3}}}^{2}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Réécrivez ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{2}$ comme $\sqrt[7]{{(x^{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{{(x^{3})}^{2}}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{3 \cdot 2}}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.5.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.6.1

Réécrivez ${\sqrt[7]{7}}^{2}$ comme $\sqrt[7]{7^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{7^{2}}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.6.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Étape 5.2.7

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \sqrt[3]{7 (\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}})}$

Étape 5.2.8

Associez $7$ et $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.9

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{7 \sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \frac{\sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.10

Associez.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.11.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $21$ .

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Étape 5.2.11.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{6}}$ comme $x^{\frac{6}{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x^{\frac{6}{7}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.1.2

Réécrivez $x^{\frac{6}{7}}$ comme $x^{\frac{18}{21}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x^{\frac{18}{21}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.1.3

Réécrivez $x^{\frac{18}{21}}$ comme $\sqrt[21]{x^{18}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$ comme ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} {(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.1.5

Réécrivez ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{1}{3}}$ comme ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{7}{21}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} {(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{7}{21}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.1.6

Réécrivez ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{7}{21}}$ comme $\sqrt[21]{{(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} \sqrt[21]{{(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} {(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.3

Appliquez la règle de produit à $7 \sqrt[7]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (7^{7} {\sqrt[7]{x^{3}}}^{7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.4

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 {\sqrt[7]{x^{3}}}^{7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5

Réécrivez ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ comme $x^{3}$ .

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Étape 5.2.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 {(x^{\frac{3}{7}})}^{7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.3

Associez $\frac{3}{7}$ et $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{3 \cdot 7}{7}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{21}{7}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.5

Annulez le facteur commun à $21$ et $7$ .

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Étape 5.2.11.5.5.1

Factorisez $7$ à partir de $21$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{7 \cdot 3}{7}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.11.5.5.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{3}{1}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.5.5.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{3})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.6

Multipliez $x^{18}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.11.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{3} x^{18} \cdot 823543}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{3 + 18} \cdot 823543}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.11.6.3

Additionnez $3$ et $18$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.12.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $21$ .

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Étape 5.2.12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{49}$ comme $49^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{49^{\frac{1}{7}} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.12.1.2

Réécrivez $49^{\frac{1}{7}}$ comme $49^{\frac{3}{21}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{49^{\frac{3}{21}} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.12.1.3

Réécrivez $49^{\frac{3}{21}}$ comme $\sqrt[21]{49^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Étape 5.2.12.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}$ comme ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} {\sqrt[7]{7}}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.2.12.1.5

Réécrivez ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{1}{3}}$ comme ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{7}{21}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} {\sqrt[7]{7}}^{\frac{7}{21}}}$

Étape 5.2.12.1.6

Réécrivez ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{7}{21}}$ comme $\sqrt[21]{{\sqrt[7]{7}}^{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} \sqrt[21]{{\sqrt[7]{7}}^{7}}}$

Étape 5.2.12.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3} {\sqrt[7]{7}}^{7}}}$

Étape 5.2.12.3

Élevez $49$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 {\sqrt[7]{7}}^{7}}}$

Étape 5.2.12.4

Réécrivez ${\sqrt[7]{7}}^{7}$ comme $7$ .

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Étape 5.2.12.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{7}$ comme $7^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 {(7^{\frac{1}{7}})}^{7}}}$

Étape 5.2.12.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7^{\frac{1}{7} \cdot 7}}}$

Étape 5.2.12.4.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7^{\frac{7}{7}}}}$

Étape 5.2.12.4.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.12.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7^{\frac{7}{7}}}}$

Étape 5.2.12.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Étape 5.2.12.4.5

Évaluez l’exposant.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Étape 5.2.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.13.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[21]{823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Étape 5.2.13.2

Réécrivez $823543$ comme $7^{7}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[21]{7^{7}}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Étape 5.2.13.3

Réécrivez $\sqrt[21]{7^{7}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Étape 5.2.13.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Étape 5.2.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.14.1

Multipliez $117649$ par $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[21]{823543}}$

Étape 5.2.14.2

Réécrivez $823543$ comme $7^{7}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[21]{7^{7}}}$

Étape 5.2.14.3

Réécrivez $\sqrt[21]{7^{7}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}}$

Étape 5.2.14.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}}$

Étape 5.2.15

Annulez le facteur commun de $\sqrt[3]{7}$ .

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Étape 5.2.15.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}}$

Étape 5.2.15.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} \sqrt[3]{7 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{{(x^{2} \sqrt[3]{7 x})}^{3}}{7}}$

Étape 5.3.3

Appliquez la règle de produit à $x^{2} \sqrt[3]{7 x}$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{7 x}}^{3}}{7}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{7 x}}^{3}}{7}}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {\sqrt[3]{7 x}}^{3}}{7}}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{7 x}}^{3}$ comme $7 x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7 x}$ comme ${(7 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {({(7 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7}}$

Étape 5.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {(7 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7}}$

Étape 5.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {(7 x)}^{\frac{3}{3}}}{7}}$

Étape 5.3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {(7 x)}^{\frac{3}{3}}}{7}}$

Étape 5.3.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} (7 x)}{7}}$

Étape 5.3.4.2.5

Simplifiez

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} (7 x)}{7}}$

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} \cdot (7 x)}{7}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les exposants.

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Étape 5.3.4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 (x^{6} x)}{7}}$

Étape 5.3.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 x^{6 + 1}}{7}}$

Étape 5.3.4.3.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 x^{7}}{7}}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 x^{7}}{7}}$

Étape 5.3.5.2

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$