Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{x^{3} + 5}$ comme une équation.

$y = \sqrt{x^{3} + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y^{3} + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y^{3} + 5} = x$ .

$\sqrt{y^{3} + 5} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{3} + 5}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{3} + 5}$ comme ${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{3} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{3} + 5)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y^{3} + 5 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} = x^{2} - 5$

Étape 3.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x^{2} - 5}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 5}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x^{3} + 5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{{(\sqrt{x^{3} + 5})}^{2} - 5}$

Étape 5.2.3

Réécrivez ${\sqrt{x^{3} + 5}}^{2}$ comme $x^{3} + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + 5}$ comme ${(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{{({(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5}$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5}$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{{(x^{3} + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5}$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{(x^{3} + 5) - 5}$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{x^{3} + 5 - 5}$

Étape 5.2.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\sqrt{x^{3} + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{x^{2} - 5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{{(\sqrt[3]{x^{2} - 5})}^{3} + 5}$

Étape 5.3.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2} - 5}}^{3}$ comme $x^{2} - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 5}$ comme ${(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{{({(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 5}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 5}$

Étape 5.3.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{{(x^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{{(x^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} + 5}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{(x^{2} - 5) + 5}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{x^{2} - 5 + 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\sqrt[3]{x^{2} - 5}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 5}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x^{3} + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 5}$