Algèbre Exemples

$y = - 3 x^{2} + 2$ et $y = 4 x^{2} + 3$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$- 3 x^{2} + 2 = 4 x^{2} + 3$

Étape 2

Résolvez $- 3 x^{2} + 2 = 4 x^{2} + 3$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} + 2 - 4 x^{2} = 3$

Étape 2.1.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 7 x^{2} + 2 = 3$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 x^{2} = 3 - 2$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- 7 x^{2} = 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 7 x^{2} = 1$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x^{2} = 1$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{1}{- 7}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{1}{- 7}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 7}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{7}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{7}$ .

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{7}}$

Étape 2.5.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{7}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{7}}$

Étape 2.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{7}}$

Étape 2.5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Étape 2.5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{7}}$

Étape 2.5.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Étape 2.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 2.5.7.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 2.5.7.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 2.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 2.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 2.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.5.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $\frac{i \sqrt{7}}{7}$ .

$y = 4 {(\frac{i \sqrt{7}}{7})}^{2} + 3$

Étape 3.2

Simplifiez $4 {(\frac{i \sqrt{7}}{7})}^{2} + 3$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{i \sqrt{7}}{7}$ .

$y = 4 \frac{{(i \sqrt{7})}^{2}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{7}$ .

$y = 4 \frac{i^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.2.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = 4 \frac{- 1 {\sqrt{7}}^{2}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \frac{- 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4 \frac{- 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = 4 \frac{- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 4 \frac{- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 \frac{- 1 \cdot 7^{1}}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$y = 4 \frac{- 1 \cdot 7}{7^{2}} + 3$

Étape 3.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$y = 4 \frac{- 1 \cdot 7}{49} + 3$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y = 4 (\frac{- 7}{49}) + 3$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun à $- 7$ et $49$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$y = 4 \frac{7 (- 1)}{49} + 3$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.5.2.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$y = 4 \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 7} + 3$

Étape 3.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 4 \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 7} + 3$

Étape 3.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 4 (\frac{- 1}{7}) + 3$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 4 (- \frac{1}{7}) + 3$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $4 (- \frac{1}{7})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - 4 (\frac{1}{7}) + 3$

Étape 3.2.1.7.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{7}$ .

$y = \frac{- 4}{7} + 3$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4}{7} + 3$

Étape 3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{4}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.2.3

Associez $3$ et $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{4}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 4 + 3 \cdot 7}{7}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$y = \frac{- 4 + 21}{7}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $21$ .

$y = \frac{17}{7}$

Étape 4

Indiquez toutes les solutions.

$y = \frac{17}{7}, x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

$y = \frac{17}{7}, x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Étape 5