Algèbre Exemples

$4^{x + 3} = \sqrt{8^{x + 5}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{8^{x + 5}} = 4^{x + 3}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{8^{x + 5}}}^{2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8^{x + 5}}$ comme $8^{\frac{x + 5}{2}}$ .

${(8^{\frac{x + 5}{2}})}^{2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(8^{\frac{x + 5}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{x + 5}{2} \cdot 2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$8^{\frac{x + 5}{2} \cdot 2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$8^{x + 5} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(4^{x + 3})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{x + 5} = 4^{(x + 3) \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$8^{x + 5} = 4^{x \cdot 2 + 3 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$8^{x + 5} = 4^{2 \cdot x + 3 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$8^{x + 5} = 4^{2 x + 6}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{3 (x + 5)} = 2^{2 (2 x + 6)}$

Étape 4.2

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 (x + 5) = 2 (2 x + 6)$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Simplifiez $3 (x + 5)$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 3 (x + 5) = 2 (2 x + 6)$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$3 (x + 5) = 2 (2 x + 6)$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 3 \cdot 5 = 2 (2 x + 6)$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$3 x + 15 = 2 (2 x + 6)$

Étape 4.3.2

Simplifiez $2 (2 x + 6)$ .

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 15 = 2 (2 x) + 2 \cdot 6$

Étape 4.3.2.2

Multipliez.

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x + 15 = 4 x + 2 \cdot 6$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$3 x + 15 = 4 x + 12$

Étape 4.3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 15 - 4 x = 12$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$- x + 15 = 12$

Étape 4.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$- x = 12 - 15$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $15$ de $12$ .

$- x = - 3$

Étape 4.3.5

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.5.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.3.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.5.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$