Algèbre Exemples

${(a + b + c)}^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(a + b + c)}^{2}$ comme $(a + b + c) (a + b + c)$ .

$(a + b + c) (a + b + c) - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(a + b + c) (a + b + c)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$a \cdot a + a b + a c + b a + b \cdot b + b c + c a + c b + c \cdot c - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} + a b + a c + b a + b \cdot b + b c + c a + c b + c \cdot c - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a^{2} + a b + a c + b a + b^{2} + b c + c a + c b + c \cdot c - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.3.3

Multipliez $c$ par $c$ .

$a^{2} + a b + a c + b a + b^{2} + b c + c a + c b + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.4

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$a^{2} + a b + a b + a c + b^{2} + b c + c a + c b + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.4.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + a c + b^{2} + b c + c a + c b + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.5

Additionnez $a c$ et $c a$ .

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Étape 1.5.1

Remettez dans l’ordre $c$ et $a$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + b c + a c + a c + c b + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.5.2

Additionnez $a c$ et $a c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + b c + 2 a c + c b + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.6

Additionnez $b c$ et $c b$ .

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Étape 1.6.1

Remettez dans l’ordre $c$ et $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + b c + b c + 2 a c + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.6.2

Additionnez $b c$ et $b c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - {(a - b + c)}^{2}$

Étape 1.7

Réécrivez ${(a - b + c)}^{2}$ comme $(a - b + c) (a - b + c)$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - ((a - b + c) (a - b + c))$

Étape 1.8

Développez $(a - b + c) (a - b + c)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a \cdot a + a (- b) + a c - b a - b (- b) - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} + a (- b) + a c - b a - b (- b) - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a - b (- b) - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.4.1

Déplacez $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a + 1 b^{2} - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a + b^{2} - b c + c a + c (- b) + c \cdot c)$

Étape 1.9.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a + b^{2} - b c + c a - c b + c \cdot c)$

Étape 1.9.8

Multipliez $c$ par $c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b + a c - b a + b^{2} - b c + c a - c b + c^{2})$

Étape 1.10

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 1.10.1

Déplacez $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - a b - 1 a b + a c + b^{2} - b c + c a - c b + c^{2})$

Étape 1.10.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - 2 a b + a c + b^{2} - b c + c a - c b + c^{2})$

Étape 1.11

Additionnez $a c$ et $c a$ .

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Étape 1.11.1

Remettez dans l’ordre $c$ et $a$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2} - b c + a c + a c - c b + c^{2})$

Étape 1.11.2

Additionnez $a c$ et $a c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2} - b c + 2 a c - c b + c^{2})$

Étape 1.12

Soustrayez $c b$ de $- b c$ .

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Étape 1.12.1

Déplacez $c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2} - b c - b c + 2 a c + c^{2})$

Étape 1.12.2

Soustrayez $b c$ de $- b c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2} - 2 b c + 2 a c + c^{2})$

Étape 1.13

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} - (- 2 a b) - b^{2} - (- 2 b c) - (2 a c) - c^{2}$

Étape 1.14

Simplifiez

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Étape 1.14.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 (a b) - b^{2} - (- 2 b c) - (2 a c) - c^{2}$

Étape 1.14.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 (a b) - b^{2} + 2 (b c) - (2 a c) - c^{2}$

Étape 1.14.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 (a b) - b^{2} + 2 (b c) - 2 (a c) - c^{2}$

Étape 1.15

Supprimez les parenthèses.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2} + 2 b c - 2 a c - c^{2}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2} + 2 b c - 2 a c - c^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} + 0 + 2 a b - b^{2} + 2 b c - 2 a c - c^{2}$

Étape 2.1.2

Additionnez $2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2}$ et $0$ .

$2 a b + b^{2} + 2 b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b - b^{2} + 2 b c - 2 a c - c^{2}$

Étape 2.1.3

Soustrayez $b^{2}$ de $b^{2}$ .

$2 a b + 2 b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b + 0 + 2 b c - 2 a c - c^{2}$

Étape 2.1.4

Additionnez $2 a b + 2 b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b$ et $0$ .

$2 a b + 2 b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b + 2 b c - 2 a c - c^{2}$

Étape 2.1.5

Soustrayez $2 a c$ de $2 a c$ .

$2 a b + 2 b c + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 0 - c^{2}$

Étape 2.1.6

Additionnez $2 a b + 2 b c + c^{2} + 2 a b + 2 b c$ et $0$ .

$2 a b + 2 b c + c^{2} + 2 a b + 2 b c - c^{2}$

Étape 2.1.7

Soustrayez $c^{2}$ de $c^{2}$ .

$2 a b + 2 b c + 2 a b + 2 b c + 0$

Étape 2.1.8

Additionnez $2 a b + 2 b c + 2 a b + 2 b c$ et $0$ .

$2 a b + 2 b c + 2 a b + 2 b c$

Étape 2.2

Additionnez $2 a b$ et $2 a b$ .

$4 a b + 2 b c + 2 b c$

Étape 2.3

Additionnez $2 b c$ et $2 b c$ .

$4 a b + 4 b c$