Algèbre Exemples

$(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} i) (12 - \frac{1}{3} i)$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $i$ .

$(\frac{2}{3} + \frac{i}{2}) (12 - \frac{1}{3} \cdot i)$

Étape 1.2

Associez $i$ et $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{2}{3} + \frac{i}{2}) (12 - \frac{i}{3})$

Étape 2

Développez $(\frac{2}{3} + \frac{i}{2}) (12 - \frac{i}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} (12 - \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} (12 - \frac{i}{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} \cdot 12 + \frac{2}{3} (- \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} (12 - \frac{i}{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{3} \cdot 12 + \frac{2}{3} (- \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 (4)) + \frac{2}{3} (- \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 4) + \frac{2}{3} (- \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 4 + \frac{2}{3} (- \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 + \frac{2}{3} (- \frac{i}{3}) + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{2}{3} (- \frac{i}{3})$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{i}{3}$ .

$8 - \frac{2 i}{3 \cdot 3} + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + \frac{i}{2} \cdot 12 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + \frac{i}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$8 - \frac{2 i}{9} + \frac{i}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$8 - \frac{2 i}{9} + i \cdot 6 + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.5

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 \cdot i + \frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.6

Multipliez $\frac{i}{2} (- \frac{i}{3})$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $\frac{i}{2}$ par $\frac{i}{3}$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{i i}{2 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{i^{1} i}{2 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{i^{1} i^{1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{i^{1 + 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{i^{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{i^{2}}{6}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - \frac{- 1}{6}$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i - - \frac{1}{6}$

Étape 3.1.9

Multipliez $- - \frac{1}{6}$ .

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Étape 3.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i + 1 (\frac{1}{6})$

Étape 3.1.9.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$8 - \frac{2 i}{9} + 6 i + \frac{1}{6}$

Étape 3.2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$8 \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2 i}{9} + 6 i$

Étape 3.3

Associez $8$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{8 \cdot 6}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2 i}{9} + 6 i$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 6 + 1}{6} - \frac{2 i}{9} + 6 i$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $8$ par $6$ .

$\frac{48 + 1}{6} - \frac{2 i}{9} + 6 i$

Étape 3.5.2

Additionnez $48$ et $1$ .

$\frac{49}{6} - \frac{2 i}{9} + 6 i$

Étape 3.6

Pour écrire $6 i$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{49}{6} - \frac{2 i}{9} + 6 i \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.7

Associez $6 i$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{49}{6} - \frac{2 i}{9} + \frac{6 i \cdot 9}{9}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{49}{6} + \frac{52 i}{9}$