Algèbre Exemples

$x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{1}{6}} - 9$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{6}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{6}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{6}} + 9$

Étape 2

Remplacez $x^{\frac{1}{6}}$ par $u$ .

${(u)}^{3} - 3 {(u)}^{2} - 3 u + 9 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

$u^{3} - 3 u^{2} - 3 u + 9 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(u^{3} - 3 u^{2}) - 3 u + 9 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u^{2} (u - 3) - 3 (u - 3) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 3$ .

$(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 3.5

Définissez $u^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u^{2} - 3$ égal à $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $u^{2} - 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} = 3$

Étape 3.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{3}$

Étape 3.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{3}$

Étape 3.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$ vraie.

$u = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{1}{6}} = 3$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $6$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 3^{6}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 3^{6}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 3^{6}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$x = 729$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{3}$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $6$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {\sqrt{3}}^{6}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {\sqrt{3}}^{6}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${\sqrt{3}}^{6}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{6}$ comme $3^{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{6}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$x = 3^{\frac{6}{2}}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3^{\frac{3}{1}}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$x = 3^{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = 27$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 729, 27, 27$