Algèbre Exemples

$f (x) = - 2 {(4 x^{2} + 2)}^{2} (x - 6)$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 2 {(4 x^{2} + 2)}^{2} (x - 6)$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 {(4 x^{2} + 2)}^{2} (x - 6) = 0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 2)}^{2} (x - 6) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(4 x^{2} + 2)}^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 1.2.3

Définissez ${(4 x^{2} + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez ${(4 x^{2} + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(4 x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez ${(4 x^{2} + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

${(2 (2 x^{2}) + 2)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(2 (2 x^{2}) + 2 (1))}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ .

${(2 (2 x^{2} + 1))}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (2 x^{2} + 1)$ .

$2^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$ par $2^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$ par $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{2}}{2^{2}} = \frac{0}{2^{2}}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{2}}{2^{2}} = \frac{0}{2^{2}}$

Étape 1.2.3.2.2.2.1.2

Divisez ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

${(2 x^{2} + 1)}^{2} = \frac{0}{2^{2}}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(2 x^{2} + 1)}^{2} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.3.2

Divisez $0$ par $4$ .

${(2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2.3

Définissez le $2 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.3.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = - 1$

Étape 1.2.3.2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.3.2.4.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.4.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 1.2.3.2.4.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.2.4.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.3.2.4.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 {(4 x^{2} + 2)}^{2} (x - 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 6$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(6, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 2 {(4 {(0)}^{2} + 2)}^{2} ((0) - 6)$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 {(4 \cdot 0^{2} + 2)}^{2} ((0) - 6)$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 {(4 \cdot 0^{2} + 2)}^{2} (0 - 6)$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 {(4 {(0)}^{2} + 2)}^{2} ((0) - 6)$

Étape 2.2.4

Simplifiez $- 2 {(4 {(0)}^{2} + 2)}^{2} ((0) - 6)$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 2 {(4 \cdot 0 + 2)}^{2} ((0) - 6)$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = - 2 {(0 + 2)}^{2} ((0) - 6)$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$y = - 2 \cdot 2^{2} ((0) - 6)$

Étape 2.2.4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - 2 \cdot 4 ((0) - 6)$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = - 8 ((0) - 6)$

Étape 2.2.4.2.4

Soustrayez $6$ de $0$ .

$y = - 8 \cdot - 6$

Étape 2.2.4.2.5

Multipliez $- 8$ par $- 6$ .

$y = 48$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 48)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(6, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 48)$

Étape 4