Algèbre Exemples

${(x^{2} + 4 x)}^{2} - 17 (x^{2} + 4 x) = - 60$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x^{2} + 4 x)}^{2} - 17 x^{2} - 17 (4 x) = - 60$

Étape 1.2

Multipliez $4$ par $- 17$ .

${(x^{2} + 4 x)}^{2} - 17 x^{2} - 68 x = - 60$

Étape 2

Ajoutez $60$ aux deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + 4 x)}^{2} - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3

Simplifiez ${(x^{2} + 4 x)}^{2} - 17 x^{2} - 68 x + 60$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 4 x)}^{2}$ comme $(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x)$ .

$(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.2

Développez $(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} + 4 x) + 4 x (x^{2} + 4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + 4 x (x^{2} + 4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 x^{2} x + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x (4 x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2} - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2} - 17 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $17 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{2} + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.4

Factorisez.

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Étape 4.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 8 x^{3} - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.5

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{3} - 68 x + 60$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (2 x^{3}) - 68 x + 60 = 0$

Étape 4.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 68 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (2 x^{3}) + 4 (- 17 x) + 60 = 0$

Étape 4.5.3

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (2 x^{3}) + 4 (- 17 x) + 4 (15) = 0$

Étape 4.5.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{3}) + 4 (- 17 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (2 x^{3} - 17 x) + 4 (15) = 0$

Étape 4.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{3} - 17 x) + 4 (15)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (2 x^{3} - 17 x + 15) = 0$

Étape 4.6

Factorisez.

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Étape 4.6.1

Factorisez $2 x^{3} - 17 x + 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 4.6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Étape 4.6.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.6.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$2 \cdot 1^{3} - 17 \cdot 1 + 15$

Étape 4.6.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 1 - 17 \cdot 1 + 15$

Étape 4.6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 17 \cdot 1 + 15$

Étape 4.6.1.3.4

Multipliez $- 17$ par $1$ .

$2 - 17 + 15$

Étape 4.6.1.3.5

Soustrayez $17$ de $2$ .

$- 15 + 15$

Étape 4.6.1.3.6

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$0$

Étape 4.6.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 17 x + 15}{x - 1}$

Étape 4.6.1.5

Divisez $2 x^{3} - 17 x + 15$ par $x - 1$ .

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Étape 4.6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$17 x$

$15$

Étape 4.6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$

Étape 4.6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 4.6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$

Étape 4.6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$

Étape 4.6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 4.6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 4.6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

Étape 4.6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$

Étape 4.6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$

Étape 4.6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Étape 4.6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x + 15$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Étape 4.6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$15$
							+	$15 x$	-	$15$
										$0$

Étape 4.6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 2 x - 15$

Étape 4.6.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 17 x + 15$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 ((x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Étape 4.7

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 15)$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + 4 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Étape 4.7.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $4 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 15)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.7.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (2 x^{2} + 2 x - 15))$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + 4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.10

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (2 x^{2} + 2 x - 15)) = 0$

Étape 4.11

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15) = 0$

Étape 4.12

Simplifiez

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Étape 4.12.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15) = 0$

Étape 4.12.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} + 8 x + 4 \cdot - 15) = 0$

Étape 4.12.3

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} + 8 x - 60) = 0$

Étape 4.13

Additionnez $x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60) = 0$

Étape 4.14

Factorisez.

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Étape 4.14.1

Réécrivez $x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ en forme factorisée.

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Étape 4.14.1.1

Factorisez $x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.14.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Étape 4.14.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Étape 4.14.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.14.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$8 + 36 + 8 \cdot 2 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.5

Additionnez $8$ et $36$ .

$44 + 8 \cdot 2 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$44 + 16 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.7

Additionnez $44$ et $16$ .

$60 - 60$

Étape 4.14.1.1.3.8

Soustrayez $60$ de $60$ .

$0$

Étape 4.14.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60}{x - 2}$

Étape 4.14.1.1.5

Divisez $x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ par $x - 2$ .

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Étape 4.14.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x$

$60$

Étape 4.14.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$

Étape 4.14.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.14.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.14.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Étape 4.14.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 4.14.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $11 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 4.14.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Étape 4.14.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $11 x^{2} - 22 x$

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Étape 4.14.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$30 x$

Étape 4.14.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$30 x$	-	$60$

Étape 4.14.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $30 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$30 x$	-	$60$

Étape 4.14.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$30 x$	-	$60$
							+	$30 x$	-	$60$

Étape 4.14.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $30 x - 60$

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$30 x$	-	$60$
							-	$30 x$	+	$60$

Étape 4.14.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$8 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$30 x$	-	$60$
							-	$30 x$	+	$60$
										$0$

Étape 4.14.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 11 x + 30$

Étape 4.14.1.1.6

Écrivez $x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x - 2) (x^{2} + 11 x + 30)) = 0$

Étape 4.14.1.2

Factorisez $x^{2} + 11 x + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.14.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 11 x + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.14.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $30$ et dont la somme est $11$ .

$5, 6$

Étape 4.14.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x - 2) ((x + 5) (x + 6))) = 0$

Étape 4.14.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) ((x - 2) (x + 5) (x + 6)) = 0$

Étape 4.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 6) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 9

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 1, 2, - 5, - 6$