Algèbre Exemples

$x (2 x - 3) < 5 x < 3 x (x + 7)$

Étape 1

Résolvez $x (2 x - 3) < 5 x$ pour $x$ .

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Étape 1.1

Simplifiez $x (2 x - 3)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + x (2 x - 3) < 5 x$

Étape 1.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot - 3 < 5 x$

Étape 1.1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 < 5 x$

Étape 1.1.2.2.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x < 5 x$

Étape 1.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x < 5 x$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x < 5 x$

$2 x^{2} - 3 x < 5 x$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} - 3 x - 5 x < 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $5 x$ de $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 8 x < 0$

Étape 1.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - 8 x = 0$

Étape 1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 8 x = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 8 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 4) = 0$

Étape 1.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (x - 4) = 0$

Étape 1.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.6

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (2 (- 2) - 3) < 5 (- 2)$

Étape 1.10.1.3

Le côté gauche $14$ n’est pas inférieur au côté droit $- 10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 1.10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) (2 (2) - 3) < 5 (2)$

Étape 1.10.2.3

Le côté gauche $2$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 1.10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(6) (2 (6) - 3) < 5 (6)$

Étape 1.10.3.3

Le côté gauche $54$ n’est pas inférieur au côté droit $30$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 4$

Étape 2

Résolvez $5 x < 3 x (x + 7)$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Étape 2.2

Simplifiez $3 x (x + 7)$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 3 x (x + 7) > 5 x$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.4.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Étape 2.2.5

Multipliez $7$ par $3$ .

$3 x^{2} + 21 x > 5 x$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} + 21 x - 5 x > 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $5 x$ de $21 x$ .

$3 x^{2} + 16 x > 0$

Étape 2.4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} + 16 x = 0$

Étape 2.5

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + 16 x$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 16 x = 0$

Étape 2.5.2

Factorisez $x$ à partir de $16 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 16 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 16$ .

$x (3 x + 16) = 0$

Étape 2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x + 16 = 0$

Étape 2.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.8

Définissez $3 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Définissez $3 x + 16$ égal à $0$ .

$3 x + 16 = 0$

Étape 2.8.2

Résolvez $3 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 16$

Étape 2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 16$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 16$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Étape 2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Étape 2.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{3}$

Étape 2.8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{16}{3}$

Étape 2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{16}{3}$

Étape 2.10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{16}{3}$

$- \frac{16}{3} < x < 0$

$x > 0$

Étape 2.11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{16}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{16}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 2.11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$5 (- 8) < 3 (- 8) ((- 8) + 7)$

Étape 2.11.1.3

Le côté gauche $- 40$ est inférieur au côté droit $24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{16}{3} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{16}{3} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.11.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$5 (- 3) < 3 (- 3) ((- 3) + 7)$

Étape 2.11.2.3

Le côté gauche $- 15$ n’est pas inférieur au côté droit $- 36$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.11.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$5 (2) < 3 (2) ((2) + 7)$

Étape 2.11.3.3

Le côté gauche $10$ est inférieur au côté droit $54$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{16}{3}$ Vrai

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - \frac{16}{3}$ Vrai

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 2.12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{16}{3}$ ou $x > 0$

Étape 3

Déterminez l’intersection de $0 < x < 4$ et $x < - \frac{16}{3} or x > 0$ .

$0 < x < 4$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(0, 4)$

Étape 5