Algèbre Exemples

$\frac{a^{3} - b^{3}}{{(a - b)}^{2}} + \frac{3 a b}{b - a}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})}{{(a - b)}^{2}} + \frac{3 a b}{b - a}$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $a - b$ à partir de ${(a - b)}^{2}$ .

$\frac{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})}{(a - b) (a - b)} + \frac{3 a b}{b - a}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})}{(a - b) (a - b)} + \frac{3 a b}{b - a}$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a - b} + \frac{3 a b}{b - a}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a - b} + \frac{3 a b}{- 1 (- b) - a}$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a - b} + \frac{3 a b}{- 1 (- b) - (a)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- b) - (a)$ .

$\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a - b} + \frac{3 a b}{- 1 (- b + a)}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{3 a b}{- 1 (- b + a)}$ au numérateur.

$\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a - b} + \frac{- (3 a b)}{- b + a}$

Étape 1.2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a - b} + \frac{- (3 a b)}{a - b}$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} + a b + b^{2} - (3 a b)}{a - b}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{a^{2} + a b + b^{2} - 3 a b}{a - b}$

Étape 2.2

Soustrayez $3 a b$ de $a b$ .

$\frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a - b}$

Étape 2.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.1

Réorganisez les termes.

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a - b}$

Étape 2.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Étape 2.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{a - b}$

Étape 2.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{a - b}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(a - b)}^{2}$ et $a - b$ .

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Étape 3.1

Factorisez $a - b$ à partir de ${(a - b)}^{2}$ .

$\frac{(a - b) (a - b)}{a - b}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(a - b) (a - b)}{(a - b) \cdot 1}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - b) (a - b)}{(a - b) \cdot 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - b}{1}$

Étape 3.2.4

Divisez $a - b$ par $1$ .

$a - b$