Algèbre Exemples

$2 \log (x) - 2 \log (x + 1) = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log (x) - 2 \log (x + 1) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log (x) - 2 \log (x + 1)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $2 \log (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2}) - 2 \log (x + 1) = 0$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez $- 2 \log (x + 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2}) - \log ({(x + 1)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\log (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = 10^{0} ({(x + 1)}^{2})$

Étape 5

Simplifiez $10^{0} ({(x + 1)}^{2})$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} = 1 {(x + 1)}^{2}$

Étape 5.1.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 5.1.3

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} = (x + 1) (x + 1)$

Étape 5.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} = x^{2} + x + x + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$x^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x^{2} = 2 x + 1$

Étape 6.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x^{2} - 2 x = 1$

Étape 6.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$0 - 2 x = 1$

Étape 6.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x = 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log (x) - 2 \log (x + 1) = 0$ vrai.

$Aucune solution$