Algèbre Exemples

$\frac{a + 15}{9 - a^{2}} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{a + 15}{3^{2} - a^{2}} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = a$ .

$\frac{a + 15}{(3 + a) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{a + 5}{a + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - a}{3 - a}$ .

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} \cdot \frac{3 - a}{3 - a} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a + 5}{a + 3}$ par $\frac{3 - a}{3 - a}$ .

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{(a + 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a + 15 - (a + 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a + 15 + (- a - 1 \cdot 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{a + 15 + (- a - 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.3

Développez $(- a - 5) (3 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a + 15 - a (3 - a) - 5 (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a + 15 - a \cdot 3 - a (- a) - 5 (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a + 15 - a \cdot 3 - a (- a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - a (- a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 a \cdot a - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.3

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.1.3.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + 1 a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.5

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.6

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 15 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 15 + 5 a}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $- 3 a$ et $5 a$ .

$\frac{a + 15 + 2 a + a^{2} - 15}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.5

Additionnez $a$ et $2 a$ .

$\frac{3 a + 15 + a^{2} - 15}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.6

Soustrayez $15$ de $15$ .

$\frac{3 a + a^{2} + 0}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.7

Additionnez $3 a + a^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 a + a^{2}}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.8

Factorisez $a$ à partir de $3 a + a^{2}$ .

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Étape 5.1.8.1

Factorisez $a$ à partir de $3 a$ .

$\frac{a \cdot 3 + a^{2}}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.8.2

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot 3 + a \cdot a}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.1.8.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot 3 + a \cdot a$ .

$\frac{a (3 + a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $3 + a$ et $a + 3$ .

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Étape 5.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a (a + 3)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (a + 3)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{3 - a} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a + a - 5}{- a + 3}$

Étape 6.2

Additionnez $a$ et $a$ .

$\frac{2 a - 5}{- a + 3}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{2 a - 5}{- (a) + 3}$

Étape 6.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 a - 5}{- (a) - 1 (- 3)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 a - 5}{- (a - 3)}$

Étape 6.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (a - 3)$ comme $- 1 (a - 3)$ .

$\frac{2 a - 5}{- 1 (a - 3)}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 a - 5}{a - 3}$