Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 54 x}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 15 x^{2} + 54 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 15 x^{2} + 54 x}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (15 x) + 54 x}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $54 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (15 x) + x \cdot 54}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (15 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 15 x) + x \cdot 54}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 15 x) + x \cdot 54$ .

$\frac{x (x^{2} + 15 x + 54)}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 15 x + 54$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $54$ et dont la somme est $15$ .

$6, 9$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x + 6) (x + 9))}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4} + 6 x^{3} - 108 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{3} - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (3 x) - 108 x^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 108 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} (- 54)} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (3 x)$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x^{2} + 3 x) + 2 x^{2} (- 54)} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2} + 3 x) + 2 x^{2} (- 54)$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x^{2} + 3 x - 54)} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 54$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 54$ et dont la somme est $3$ .

$- 6, 9$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} ((x - 6) (x + 9))} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 x^{2} - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 42 x + 36$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 (x^{2}) - 42 x + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 42 x$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 (x^{2}) + 6 (- 7 x) + 36}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 x^{2} + 6 (- 7 x) + 6 \cdot 6}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 3.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 7 x)$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot 6}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 3.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 (x^{2} - 7 x + 6)}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 ((x - 6) (x - 1))}{x^{2} + 5 x - 6}$

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 (x - 6) (x - 1)}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $5$ .

$- 1, 6$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x + 6) (x + 9)}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9)} \cdot \frac{6 (x - 6) (x - 1)}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{x (x + 6) (x + 9) (6 (x - 6) (x - 1))}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x + 6) (x + 9) (6 (x - 6) (x - 1))$ .

$\frac{x (((x + 6) (x + 9)) (6 (x - 6) (x - 1)))}{2 x^{2} (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6))}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6))$ .

$\frac{x (((x + 6) (x + 9)) (6 (x - 6) (x - 1)))}{x (2 x (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6)))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (((x + 6) (x + 9)) (6 (x - 6) (x - 1)))}{x (2 x (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6)))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x + 6) (x + 9)) (6 (x - 6) (x - 1))}{2 x (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x + 9) (6 (x - 6) (x - 1))}{2 x (x - 6) (x + 9) ((x - 1) (x + 6))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 9) (6 (x - 6) (x - 1))}{2 x (x - 6) (x + 9) (x - 1)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x + 9$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 9) (6 (x - 6) (x - 1))}{2 x (x - 6) (x + 9) (x - 1)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (x - 6) (x - 1)}{2 x (x - 6) (x - 1)}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 6) (x - 1)$ .

$\frac{2 (3 (x - 6) (x - 1))}{2 x (x - 6) (x - 1)}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x - 6) (x - 1)$ .

$\frac{2 (3 (x - 6) (x - 1))}{2 ((x (x - 6)) (x - 1))}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (x - 6) (x - 1))}{2 ((x (x - 6)) (x - 1))}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x - 6) (x - 1)}{(x (x - 6)) (x - 1)}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 5.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x - 6) (x - 1)}{x (x - 6) (x - 1)}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x - 1)}{(x) (x - 1)}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 5.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x}$