Algèbre Exemples

$- 3^{- x} - 6 = - 3^{x} + 10$

Étape 1

Ajoutez $3^{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3^{- x} - 6 + 3^{x} = 10$

Étape 2

Réécrivez $3^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$- {(3^{x})}^{- 1} - 6 + 3^{x} = 10$

Étape 3

Remplacez $3^{x}$ par $u$ .

$- u^{- 1} - 6 + u = 10$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{u} - 6 + u = 10$

Étape 5

Déplacez $- 6$ .

$- \frac{1}{u} + u - 6 = 10$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $- \frac{1}{u}$ et $u$ .

$u - \frac{1}{u} - 6 = 10$

Étape 7

Résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1, 1$

Étape 7.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 7.2

Multiplier chaque terme dans $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.2.1

Multipliez chaque terme dans $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ par $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 7.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{u}$ dans le numérateur.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Étape 7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Étape 7.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 1 - 6 u = 10 u$

Étape 7.3

Résolvez l’équation.

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Étape 7.3.1

Déplacez tous les termes contenant $u$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.3.1.1

Soustrayez $10 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 - 6 u - 10 u = 0$

Étape 7.3.1.2

Soustrayez $10 u$ de $- 6 u$ .

$u^{2} - 1 - 16 u = 0$

Étape 7.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4

Simplifiez

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Étape 7.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.4.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.1.3

Additionnez $256$ et $4$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.1.4

Réécrivez $260$ comme $2^{2} \cdot 65$ .

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Étape 7.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $260$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Étape 7.3.4.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$u = 8 \pm \sqrt{65}$

Étape 7.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 8 + \sqrt{65}, 8 - \sqrt{65}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $8 + \sqrt{65}$ dans $u = 3^{x}$ .

$8 + \sqrt{65} = 3^{x}$

Étape 9

Résolvez $8 + \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 8 + \sqrt{65}$ .

$3^{x} = 8 + \sqrt{65}$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Étape 9.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Étape 9.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 9.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 9.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Étape 9.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Étape 10

Remplacez $u$ par $8 - \sqrt{65}$ dans $u = 3^{x}$ .

$8 - \sqrt{65} = 3^{x}$

Étape 11

Résolvez $8 - \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Étape 11.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$ .

$3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Étape 11.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 - \sqrt{65})$

Étape 11.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (8 - \sqrt{65})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 11.4

Il n’y a pas de solution pour $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Aucune solution

Étape 12

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Forme décimale :

$x = 2.52725398 \dots$