Algèbre Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} - y - 1 = 0$ , $2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ dans $x^{3} + 2 x^{2} - y - 1 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - y - 1 = - x^{3}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y - 1 = - x^{3} - 2 x^{2}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.1.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ comme $- (- 2 x^{2})$ .

$y = x^{3} - (- 2 x^{2}) + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.6

Divisez $1$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $x^{3} + 2 x^{2} - 1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $2 - y + x - x^{2} = 0$ par $x^{3} + 2 x^{2} - 1$ .

$2 - (x^{3} + 2 x^{2} - 1) + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez $2 - (x^{3} + 2 x^{2} - 1) + x - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 - x^{3} - (2 x^{2}) + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x^{3} - 2 x^{2} + 3 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 2.2.1.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x^{3} - 3 x^{2} + x + 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- x^{3} - 3 x^{2}) + x + 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (- x - 3) - 1 (- x - 3) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x^{2} (- x - 3) - 1 (- x - 3) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$(- x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(- x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(- x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.3

Définissez $- x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Définissez $- x - 3$ égal à $0$ .

$- x - 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.3.2

Résolvez $- x - 3 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 3$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 3, - 1, 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3, - 1, 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ par $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez ${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$y = - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Étape 4.2.1.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = - 27 + 2 \cdot 9 - 1$

$x = - 3$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $- 27$ et $18$ .

$y = - 9 - 1$

$x = - 3$

Étape 4.2.1.2.2

Soustrayez $1$ de $- 9$ .

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ par $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = - 1$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = 1 - 1$

$x = - 1$

Étape 5.2.1.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ par $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$y = - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Étape 6.2.1.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = - 27 + 2 \cdot 9 - 1$

$x = - 3$

Étape 6.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.2.1

Additionnez $- 27$ et $18$ .

$y = - 9 - 1$

$x = - 3$

Étape 6.2.1.2.2

Soustrayez $1$ de $- 9$ .

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ par $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Étape 7.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = - 1$

Étape 7.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = 1 - 1$

$x = - 1$

Étape 7.2.1.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ par $1$ .

$y = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 1$

$x = 1$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez ${(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 + 2 {(1)}^{2} - 1$

$x = 1$

Étape 8.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = 1$

Étape 8.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 1 + 2 - 1$

$x = 1$

$y = 1 + 2 - 1$

$x = 1$

Étape 8.2.1.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = 3 - 1$

$x = 1$

Étape 8.2.1.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

Étape 9

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 3, - 10)$

$(- 1, 0)$

$(1, 2)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- 3, - 10), (- 1, 0), (1, 2)$

Forme de l’équation :

$x = - 3, y = - 10$

$x = - 1, y = 0$

$x = 1, y = 2$

Étape 11