Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 10 x + 16}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 8, - 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{4}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Étape 2.1.2

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $66 x^{3}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x) + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Étape 2.1.3

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $108 x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x) + 6 x^{2} (18)}{6 x^{2} - 24}$

Étape 2.1.4

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2} + 11 x) + 6 x^{2} (18)}{6 x^{2} - 24}$

Étape 2.1.5

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (x^{2} + 11 x) + 6 x^{2} (18)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2} + 11 x + 18)}{6 x^{2} - 24}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 11 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $11$ .

$2, 9$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} ((x + 2) (x + 9))}{6 x^{2} - 24}$

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 x^{2} - 24}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 24$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2}) - 24}$

Étape 3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 24$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 x^{2} + 6 \cdot - 4}$

Étape 3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 \cdot - 4$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2} - 4)}$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2} - 2^{2})}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2) (x - 2)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 8) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $6 (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{(x - 2) (6 (x + 2))}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{(x - 2) (6 (x + 2))}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 8}{x - 8}$ par $\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 8) (6 x^{2} (x + 2) (x + 9))}{(x - 8) (6 (x + 2))}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 8) (6 x^{2} (x + 2) (x + 9))}{(x - 8) (6 (x + 2))}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} (x + 2)) (x + 9)}{x + 2}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x + 2) (x + 9)}{x + 2}$

Étape 4.5.2

Divisez $(x^{2}) (x + 9)$ par $1$ .

$(x^{2}) (x + 9)$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 9$

Étape 5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 9$

Étape 5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 9$

Étape 5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 9$

Étape 6

Déplacez $9$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{3} + 9 x^{2}$