Algèbre Exemples

$3 x^{4} - 14 x^{3} - 3 x^{2} + 54 x - 40$

Étape 1

Regroupez les termes.

$3 x^{4} - 3 x^{2} - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{4} - 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 2.2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (- 1) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 2.3

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (- 1)$ .

$3 x^{2} (x^{2} - 1) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$3 x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Étape 5

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x^{3} + 54 x - 40$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x^{3}$ .

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3}) + 54 x - 40$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $54 x$ .

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (27 x) - 40$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 40$ .

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (27 x) + 2 (- 20)$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 7 x^{3}) + 2 (27 x)$ .

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3} + 27 x) + 2 (- 20)$

Étape 5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 7 x^{3} + 27 x) + 2 (- 20)$ .

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3} + 27 x - 20)$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Factorisez $- 7 x^{3} + 27 x - 20$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Étape 6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 20, \pm 2.\overline{857142}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 10, \pm 1.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Étape 6.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 7 \cdot 1^{3} + 27 \cdot 1 - 20$

Étape 6.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 7 \cdot 1 + 27 \cdot 1 - 20$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 7 + 27 \cdot 1 - 20$

Étape 6.1.3.4

Multipliez $27$ par $1$ .

$- 7 + 27 - 20$

Étape 6.1.3.5

Additionnez $- 7$ et $27$ .

$20 - 20$

Étape 6.1.3.6

Soustrayez $20$ de $20$ .

$0$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 7 x^{3} + 27 x - 20}{x - 1}$

Étape 6.1.5

Divisez $- 7 x^{3} + 27 x - 20$ par $x - 1$ .

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Étape 6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$27 x$

$20$

Étape 6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$

Étape 6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{3} + 7 x^{2}$

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Étape 6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$

Étape 6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$

Étape 6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{2} + 7 x$

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$

Étape 6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$

Étape 6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$

Étape 6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Étape 6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x - 20$

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Étape 6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Étape 6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 7 x^{2} - 7 x + 20$

Étape 6.1.6

Écrivez $- 7 x^{3} + 27 x - 20$ comme un ensemble de facteurs.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 ((x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$

Étape 7

Factorisez $x - 1$ à partir de $3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $3 x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (3 x^{2} (x + 1)) + 2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$

Étape 7.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$ .

$(x - 1) (3 x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 7.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (3 x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$ .

$(x - 1) (3 x^{2} (x + 1) + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $x$ .

$(x - 1) (3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (3 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 10

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 20)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} - 14 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 20)$

Étape 12.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} - 14 x^{2} - 14 x + 2 \cdot 20)$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $20$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} - 14 x^{2} - 14 x + 40)$

Étape 13

Soustrayez $14 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40)$

Étape 14

Factorisez.

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Étape 14.1

Réécrivez $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ en forme factorisée.

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Étape 14.1.1

Factorisez $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 14.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 14.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 40, \pm 13.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 20, \pm 6.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

Étape 14.1.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 14.1.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

$3 {(- 2)}^{3} - 11 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 + 40$

Étape 14.1.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 8 - 11 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 + 40$

Étape 14.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$- 24 - 11 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 + 40$

Étape 14.1.1.3.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 24 - 11 \cdot 4 - 14 \cdot - 2 + 40$

Étape 14.1.1.3.5

Multipliez $- 11$ par $4$ .

$- 24 - 44 - 14 \cdot - 2 + 40$

Étape 14.1.1.3.6

Soustrayez $44$ de $- 24$ .

$- 68 - 14 \cdot - 2 + 40$

Étape 14.1.1.3.7

Multipliez $- 14$ par $- 2$ .

$- 68 + 28 + 40$

Étape 14.1.1.3.8

Additionnez $- 68$ et $28$ .

$- 40 + 40$

Étape 14.1.1.3.9

Additionnez $- 40$ et $40$ .

$0$

Étape 14.1.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40}{x + 2}$

Étape 14.1.1.5

Divisez $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ par $x + 2$ .

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Étape 14.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$14 x$

$40$

Étape 14.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$

Étape 14.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 14.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 6 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 14.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$

Étape 14.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$

Étape 14.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 17 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$

Étape 14.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$17 x^{2}$	-	$34 x$

Étape 14.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 17 x^{2} - 34 x$

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$

Étape 14.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$

Étape 14.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$

Étape 14.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$

Étape 14.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	+	$40$

Étape 14.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x + 40$

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	-	$40$

Étape 14.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	-	$40$
										$0$

Étape 14.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} - 17 x + 20$

Étape 14.1.1.6

Écrivez $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 17 x + 20))$

Étape 14.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 14.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 14.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 20 = 60$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 14.1.2.1.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 x$ .

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 17 (x) + 20))$

Étape 14.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $- 5$ plus $- 12$

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} + (- 5 - 12) x + 20))$

Étape 14.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 5 x - 12 x + 20))$

Étape 14.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 14.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) ((x + 2) ((3 x^{2} - 5 x) - 12 x + 20))$

Étape 14.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) ((x + 2) (x (3 x - 5) - 4 (3 x - 5)))$

Étape 14.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 5$ .

$(x - 1) ((x + 2) ((3 x - 5) (x - 4)))$

Étape 14.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x - 5) (x - 4))$

Étape 14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 2) (3 x - 5) (x - 4)$