Algèbre Exemples

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{s^{2} - r^{2}} + \frac{r}{s - r}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = s$ et $b = r$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{r + 3 s}{s + r}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} \cdot \frac{s - r}{s - r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{r + 3 s}{s + r}$ par $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{(r + 3 s) (s - r)}{(s + r) (s - r)} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(r + 3 s) (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(r + 3 s) (s - r)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r (s - r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{r s - r \cdot r + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $r$ .

$\frac{r s - (r \cdot r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.3.1

Déplacez $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 (s \cdot s) + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 \cdot - 1 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} - 3 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3 s r$ de $r s$ .

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} + r s - 3 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3 r s$ de $r s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} - 2 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.3

Soustrayez $3 s^{2}$ de $3 s^{2}$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s + 0}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.4

Additionnez $- r^{2} - 2 r s$ et $0$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.5

Factorisez $r$ à partir de $- r^{2} - 2 r s$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $r$ à partir de $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.5.2

Factorisez $r$ à partir de $- 2 r s$ .

$\frac{r (- r) + r (- 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 4.5.3

Factorisez $r$ à partir de $r (- r) + r (- 2 s)$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{r}{s - r}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r} \cdot \frac{s + r}{s + r}$

Étape 6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(s + r) (s - r)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{r}{s - r}$ par $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s - r) (s + r)}$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de $(s - r) (s + r)$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{r (- r - 2 s) + r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Factorisez $r$ à partir de $r (- r - 2 s) + r (s + r)$ .

$\frac{r (- r - 2 s + s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Étape 8.2

Additionnez $- r$ et $r$ .

$\frac{r (- 2 s + s + 0)}{(s + r) (s - r)}$

Étape 8.3

Additionnez $- 2 s + s$ et $0$ .

$\frac{r (- 2 s + s)}{(s + r) (s - r)}$

Étape 8.4

Additionnez $- 2 s$ et $s$ .

$\frac{r \cdot - 1 s}{(s + r) (s - r)}$

Étape 8.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- r s}{(s + r) (s - r)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{r s}{(s + r) (s - r)}$